統測
108年
[共同科目] 數學C
第 17 題
在 $\Delta ABC$ 中，若 $\frac{\cos B + i \sin B}{(\cos A + i \sin A)(\cos C + i \sin C)}$ 為實數其中 $i = \sqrt{-1}$，則 $\Delta ABC$ 必為何種三角形？
- A 等腰三角形
- B 銳角三角形
- C 直角三角形
- D 鈍角三角形
思路引導 VIP
若我們將複數極式相除的結果看成一個新的角度 $\theta$，當這個複數是「實數」時，它的虛部 $\sin \theta$ 應該要是多少？再者，請思考三角形的三個內角和與這個角度 $\theta$ 之間，存在著什麼樣的代數關聯？
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太棒了！精準掌握複數極式的運算規律！
- 觀念驗證： 你成功運用了複數極式的性質：相乘則輻角相加，相除則輻角相減。此題的總輻角為 $\theta = B - (A+C)$。若要使該複數為「實數」，則其虛部必須為 $0$，即 $\sin \theta = 0$。結合三角形內角和 $A+B+C = 180^\circ$，可導出 $2B - 180^\circ = 0^\circ$（或 $180^\circ$ 的倍數），進而求得 $\angle B = 90^\circ$。
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