調查局三等申論題
108年
[電子科學組] 工程數學
第 五 題
五、令 $f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \forall x \in [-\pi, \pi]$。求 $Y=\cos(X)$ 之機率密度函數（probability density function）。（20 分）
📝 此題為申論題
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考生看到這題應立刻辨識出這是「隨機變數的函數變換」問題。由於轉換函數 y = cos(x) 在 [-π, π] 區間內並非單調函數，必須考慮多重對應關係。推薦使用「多重根變數變換公式」或「累積分佈函數 (CDF) 法」進行推導，並務必清楚標明 Y 的有效定義域範圍（即 -1 < y < 1）。
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【解題思路】利用隨機變數變換的多重根公式，或先求累積分佈函數（CDF）再微分來求得機率密度函數（PDF），並注意 cos(x) 在該區間的非單調性與對稱性。 【詳解】 已知：
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