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moea_joint_essay 108年 [電機] 電力系統與電機機械、電磁學

第 四 題

📖 題組：
如【圖 4】所示，兩個有損均勻介電質，相對介電係數分別為 εr1 = 2.0、εr2 = 3.0 ，導電係數分別為 σ1 = 15 mS/m、σ2 = 10 mS/m，兩介質由 Y = 0 平面隔開，已知 Y > 0 區域內之電場為 E1 = ax 30 － ay 40 V/m，ε0 = 8.85 × 10^-12 F/m，請計算：(計算至小數點後第 2 位，以下四捨五入)（20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (四)

在 Y = 0 處之表面電荷密度 (ρs) (以科學記號表示)（5 分）
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穩態電流流經不同導電係數與介電係數的介面時，會累積表面電荷。利用邊界條件 $D_{1n} - D_{2n} = \rho_s$ (由介質2指向介質1方向)。此處法線為 $a_y$。

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  1. 邊界條件：$a_n \cdot (D_1 - D_2) = \rho_s$，其中法向量 $a_n = a_y$。
  2. $D_1 = \epsilon_1 E_1 = 2.0 \epsilon_0 (30 a_x - 40 a_y)$，其法線分量 $D_{1y} = -80 \epsilon_0$。
  3. $D_2 = \epsilon_2 E_2 = 3.0 \epsilon_0 (30 a_x - 60 a_y)$，其法線分量 $D_{2y} = -180 \epsilon_0$。

小題 (一)

Y < 0 區域內之電場為 E2（5 分）
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利用穩態電流邊界條件。切線方向電場連續：$E_{1t} = E_{2t}$。法線方向電流密度連續（因無外界輸入之面電流）：$J_{1n} = J_{2n} \Rightarrow \sigma_1 E_{1n} = \sigma_2 E_{2n}$。

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  1. 介面為 Y=0 平面，法向量為 $a_y$。切線分量為 X 軸方向。
  2. $E_{1t} = 30 a_x$，由切線電場連續性知 $E_{2t} = E_{1t} = 30 a_x \text{ V/m}$。
  3. $E_{1n} = -40 a_y$。由法線電流密度連續性 $J_{1n} = J_{2n}$，即 $\sigma_1 E_{1n} = \sigma_2 E_{2n}$。

小題 (二)

兩介質之電流密度 J1、J2（5 分）
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直接代入歐姆定律微觀形式 $J = \sigma E$ 計算即可。注意單位轉換 $mS/m$ 至 $A/m^2$ 或直接標示 $mA/m^2$。

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  1. $J_1 = \sigma_1 E_1 = 15 \times 10^{-3} (30 a_x - 40 a_y) = 0.45 a_x - 0.6 a_y \text{ A/m}^2$。
  2. $J_2 = \sigma_2 E_2 = 10 \times 10^{-3} (30 a_x - 60 a_y) = 0.30 a_x - 0.6 a_y \text{ A/m}^2$。

小題 (三)

θ1 ( J1 與 Y 軸之夾角)及θ2 ( J2 與 Y 軸之夾角)（5 分）
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利用內積或幾何關係求向量與 Y 軸之夾角。$\cos\theta = \frac{J \cdot a_y}{|J|}$，或者直接由 X 和 Y 分量取反正切得到與法線(Y軸)的夾角。

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  1. $J_1$ 與 Y 軸之夾角 $\theta_1$：$J_{1y} = -0.6$，$J_{1x} = 0.45$。若取與 Y 軸正向夾角，$\cos\theta_1 = \frac{-0.6}{\sqrt{0.45^2 + (-0.6)^2}} = \frac{-0.6}{0.75} = -0.8$。$\theta_1 = 143.13^\circ$。(若指與法線Y軸夾角之銳角部分，即偏折角，可視為 $\tan^{-1}(|0.45/-0.6|) = 36.87^\circ$)。
  2. $J_2$ 與 Y 軸之夾角 $\theta_2$：$J_{2y} = -0.6$，$J_{2x} = 0.30$。$\cos\theta_2 = \frac{-0.6}{\sqrt{0.3^2 + (-0.6)^2}} = \frac{-0.6}{0.6708} = -0.8944$。$\theta_2 = 153.43^\circ$。(其偏折角為 $\tan^{-1}(|0.3/-0.6|) = 26.57^\circ$)。

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