第 二 題

如圖 6 所示為真空中一片無窮大帶電平面，表面電荷密度為 $\rho_s$。 取一個底面積為 $\Delta A$、穿越帶電平面的圓柱形高斯面，上下底面與帶電平面平行。 根據高斯定律 $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{encl}}{\epsilon_0}$：

如圖 5 所示為帶有表面電荷密度 $\rho_s$ 的無窮大接地導體表面。根據靜電學邊界條件，導體內部電場為零。 取一個底面積為 $\Delta A$、高度極小的圓柱體作為高斯面（Gaussian surface），一半位於真空中，一半位於導體內。 根據高斯定律 $\oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac{Q_{encl}}{\epsilon_0}$：

根據疊加定理，空間中任一點的電場為三個無限大平面分別產生的電場之向量和。 設三個平面的位置分別為：$x = 0$ (電荷密度 $2\rho_s$)，$x = d$ (電荷密度 $\rho_s$)，$x = 2d$ (電荷密度 $-\rho_s$)。 每一無限大平面的電場大小為 $E_i = \frac{\rho_{si}}{2\epsilon_0}$，方向為背離正電荷、指向負電荷。電場方向沿 x 軸。