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moea_joint_essay 108年 [電機] 電力系統與電機機械、電磁學

第 二 題

📖 題組：
如【圖 3】所示，有一無窮長送電用同軸電纜，內、外導體之半徑分別為 a、c，已知 a = 0.4 cm，兩導體間之絕緣層由兩種介電質構成，在 a < r < b 間為材質 1、在 b < r < c 間為材質 2；兩材質之相關參數如下： 材質 1：相對介電係數 εr1 = 3.0、介電強度 = 2.5 × 10^7 V/m 材質 2：相對介電係數 εr2 = 2.5、介電強度 = 2.0 × 10^7 V/m 請計算：(計算至小數點後第 2 位，以下四捨五入)（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (二)

假設 a 為 0.4 cm、b 為 0.8 cm、c 為 1.1 cm，真空中介電係數ε0 = 8.85 × 10^-12 F/m，試求此電纜每單位長度之電容值為多少 pF（5 分）
題目圖片

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電纜可視為兩個同軸圓柱電容器串聯。分別計算材質1與材質2的單位長度電容 $C_1 = \frac{2\pi\epsilon_1}{\ln(b/a)}$ 和 $C_2 = \frac{2\pi\epsilon_2}{\ln(c/b)}$，總電容 $C_{total} = (1/C_1 + 1/C_2)^{-1}$。

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  1. 內層電容 $C_1 = \frac{2\pi\epsilon_1}{\ln(b/a)} = \frac{2 \pi \times 3.0 \times 8.85 \times 10^{-12}}{\ln(0.8/0.4)} = \frac{166.82 \times 10^{-12}}{0.693} = 240.72 \text{ pF/m}$。
  2. 外層電容 $C_2 = \frac{2\pi\epsilon_2}{\ln(c/b)} = \frac{2 \pi \times 2.5 \times 8.85 \times 10^{-12}}{\ln(1.1/0.8)} = \frac{139.01 \times 10^{-12}}{0.318} = 437.14 \text{ pF/m}$。
  3. 總等效電容 $C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{240.72 \times 437.14}{240.72 + 437.14} = \frac{105228}{677.86} = 155.24 \text{ pF/m}$。

小題 (一)

今欲設計電纜符合「工作電壓為 22 kV、兩種絕緣材質內最大電場強度不能超過該材料介電強度之 25 %」需求，請分別計算兩絕緣材質之最小厚度（10 分）
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同軸電纜中電場分布為 $E(r) = \frac{\rho_l}{2\pi\epsilon r}$。最大電場分別發生在 $r=a$ (材質1) 及 $r=b$ (材質2)。利用電位差 $V = \int E dr$ 列式。依據介電強度限制，計算出容許的最大電壓對應的介面半徑 $b$ 與外徑 $c$，進而求得各自厚度。

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  1. 兩材質最大容許電場分別為：$E_{1max} = 2.5 \times 10^7 \times 0.25 = 6.25 \times 10^6 \text{ V/m}$（發生在 $r=a=0.4\text{cm}$）；$E_{2max} = 2.0 \times 10^7 \times 0.25 = 5.0 \times 10^6 \text{ V/m}$（發生在 $r=b$）。
  2. 邊界條件要求電通密度連續：$D_{1}(b) = D_{2}(b) \Rightarrow \epsilon_1 E_1(b) = \epsilon_2 E_2(b) = \epsilon_2 E_{2max}$。
  3. $E_1(b) = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1} E_{2max} = \frac{2.5}{3.0} \times 5 \times 10^6 = 4.167 \times 10^6 \text{ V/m}$。

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