moea_joint_essay 107年 [電機] 電力系統與電機機械、電磁學

第三題

📖 題組：
求電位 $V$ 對半徑 $r$ 的球型座標函數方程式。若：(計算至整數位，以下四捨五入)（24 分）註：真空中的介電係數(permittivity) $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}$ F/m。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (三)

在 $r = 0.2$ m 時 $V = 500$ V，及其在中間介質為空氣中內導體表面的總電荷為 2 $\mu$C。（10 分）

利用高斯定律，具球面對稱之總電荷 $Q$ 產生的電場為 $E_r = Q / (4 \pi \varepsilon_0 r^2)$。因此通解中 $E_r = A/r^2$ 的 $A = Q / (4 \pi \varepsilon_0)$。計算出 A 後，再代入給定的電位條件解出 B。

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根據高斯定律，由中心總電荷 $Q = 2 \mu\text{C}$ 在空氣中產生的徑向電場為： $E_r = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}$ 由於通解之電場 $E_r = \frac{A}{r^2}$，故常數 A 為：

在 $r = 0.2$ m 時 $V = 500$ V，$r = 0.25$ m 時 $V = 50$ V。（7 分）

球座標下不帶電荷之區域滿足拉普拉斯方程式，其只與 $r$ 相關的通解為 $V(r) = \frac{A}{r} + B$。代入兩組已知的 $(r, V)$ 邊界條件求出未知的常數 A 與 B。

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在球座標中，若電位僅與徑向距離 $r$ 有關，則符合拉普拉斯方程式的通解為： $V(r) = \frac{A}{r} + B$ (其中 A, B 為常數)。將邊界條件代入通解：

在 $r = 0.2$ m 時 $V = 500$ V，$r = 0.3$ m 時 $E_r = 6000$ V/m。（7 分）

給定電場值時，利用電場與電位關係 $E_r = -dV/dr$ 將通解 $V(r) = A/r + B$ 轉為 $E_r = A/r^2$。先藉由電場條件求得 A，再代回電位條件求得 B。

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已知通解 $V(r) = \frac{A}{r} + B$，則電場大小為 $E_r = -\frac{dV}{dr} = \frac{A}{r^2}$。

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