第 四 題

在標準化迴歸中，斜率 $\beta = r$，且截距為 0。方程式形式為 $\hat{Z}_Y = r \cdot Z_X$。

從表格中提取資訊。注意題目提供的標準化分數 $Z_X$ 是以「母體」公式（除以 $n$）還是「樣本」公式（除以 $n-1$）計算的？觀察表格最後一列，$Z_X$ 均值為 0，$sum Z_X Z_Y = 5.30$，且 $Z_X$ 平均為 $0.7571$。經初步核對，$74$ 比均值 $69$ 大 $5$，而 $Z_X$ 為 $0.8$，代表標準差為 $5/0.8 = 6.25$。$6.25^2 = 39.06$。若使用母體變異數公式 $S^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \bar{X}^2 = 4800.14 - 69^2 = 39.14$。本題表格數據似乎採用 $n$ 作為分母，應配合表格邏輯作答。

共變數的定義為 $\frac{\sum XY}{n} - \bar{X}\bar{Y}$。同樣需注意分母為 $n=7$。

相關係數 $r$ 在標準化分數下，其公式為 $r = \frac{\sum Z_X Z_Y}{n}$。表格中已經給出 $Z_X Z_Y$ 的平均值，這就是 $r$。

決定係數 $r^2$ 即為相關係數的平方，代表 X 可解釋 Y 變異的百分比。