普考申論題
109年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
二、設X̄9與X̄25為分別從常態母體N(μ,σ=3)中隨機抽取9個與25個樣本的樣本平均數。今要對參數μ進行檢定，而我們所設定的統計假設為H0:μ=0及H1:μ=1；若有兩個檢定規則（拒絕域）如下： 規則1：若X̄9>1.6則拒絕H0；規則2：若X̄25>1.0則拒絕H0。 試求：（每小題分配分數如題）
二、設X̄9與X̄25為分別從常態母體N(μ,σ=3)中隨機抽取9個與25個樣本的樣本平均數。今要對參數μ進行檢定，而我們所設定的統計假設為H0:μ=0及H1:μ=1；若有兩個檢定規則（拒絕域）如下： 規則1：若X̄9>1.6則拒絕H0；規則2：若X̄25>1.0則拒絕H0。 試求：（每小題分配分數如題）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請分別計算規則1與規則2之檢定力（power）為多少？（8分）
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本題測驗核心假設檢定概念。首先釐清「檢定力(Power)」的定義：在對立假說(H1)為真時，正確拒絕虛無假說(H0)的機率。即 P(拒絕H0 | μ=1)。解題時需將 X̄ 轉換為標準常態變數 Z = (X̄ - μ) / (σ/√n)，注意代入的 μ 必須是 H1 的值(μ=1)，而標準誤的 n 也要隨規則不同(9或25)而改變，最後查表得出機率。
小題 (二)
請分別計算規則1與規則2之顯著水準α為多少？（8分）
思路引導 VIP
「顯著水準(α)」也就是發生型I誤差(Type I Error)的機率。定義為：在虛無假說(H0)為真時，錯誤地拒絕H0的機率。即 P(拒絕H0 | μ=0)。這與第一小題的計算邏輯完全對稱，只是將代入的中心 μ 換成 0。同樣進行 Z 轉換後查表即可。
小題 (三)
由(一)及(二)的結果，對所設定的統計假設，那一個檢定規則較佳？為什麼？（6分）
思路引導 VIP
這是一道觀念綜合題。要判斷哪個檢定規則「較佳」，必須同時評估型I誤差(α)與型II誤差(β，或看檢定力 1-β)。理想的檢定規則是 α 越小越好，同時檢定力(Power)越大越好。直接將前兩小題的數據擺在一起比較，並點出背後原因是「樣本數大小差異(n=25 vs n=9)」所導致的資訊量不同。
📜 參考法條
註2：標準常態機率分配表，Z ~ N(0,1) (含特定Z值之機率，如表中 P[Z<-0.6]=0.2743, P[Z<-1.6]=0.0548, P[Z<-1.67]=0.0475等)