普考申論題
105年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
設( X1, X2, …, X100 )為抽自母體變異數為 100，平均數μ為未知的常態分配之一組大小為 n =100 之隨機樣本，今欲利用此組隨機樣本來檢定H0：μ = 75對H1：μ = 78，且訂定檢定規則（危險域）為C = {X̅ ≥ k}，則：
設( X1, X2, …, X100 )為抽自母體變異數為 100，平均數μ為未知的常態分配之一組大小為 n =100 之隨機樣本，今欲利用此組隨機樣本來檢定H0：μ = 75對H1：μ = 78，且訂定檢定規則（危險域）為C = {X̅ ≥ k}，則：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若取顯著水準為α = 0.025，試決定上述檢定規則（危險域）C 中之常數 k 之值為何？（8 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到常態母體平均數的假設檢定與型一錯誤（顯著水準 α）的定義。利用在虛無假設 H0 成立的條件下，樣本平均數 X̅ 的抽樣分配，透過標準化將其轉換為標準常態分配 Z，即可利用查表求出臨界值 k。
小題 (二)
試求上述(一)中所訂定之檢定規則 C 的檢定力（power）為何？（8 分）
思路引導 VIP
檢定力（Power）的定義為「在對立假說（H1）為真的條件下，正確拒絕虛無假說（H0）的機率」。解題時，必須先確立樣本平均數 X̄ 在 H1 條件下的抽樣分配（平均數與標準誤），再將題目給定的危險域 C = {X̄ ≥ k} 標準化為標準常態變數 Z，以求出對應的機率面積。
小題 (三)
試求上述(一)中所訂定之檢定規則 C 會產生多大的型二誤差（typeⅡ error）之機率，即β =？（8 分）
思路引導 VIP
看到型二誤差（Type II Error, β），首要想到其定義為「當對立假說（H1）為真時，卻未拒絕虛無假說（H0）的機率」。先確認在 H1 之下樣本平均數 X̄ 的抽樣分配，再將危險域以外的範圍（即接受域 X̄ < k）標準化，即可求出 β 值與 k 的函數關係。
📜 參考法條
附表1：標準常態累加機率值表