普考申論題
109年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
計算並畫出以下各訊號的傅立葉轉換（Fourier transformation），其中定義 sinc(t) = { sin(πt) / (πt), t ≠ 0 1, t = 0 } (一) g1(t) = sinc²(2t)。(10分) (二) g2(t) = sinc(t) * sinc(4t)，其中 * 代表卷積（convolutional integral）運算。(10分)
計算並畫出以下各訊號的傅立葉轉換（Fourier transformation），其中定義 sinc(t) = { sin(πt) / (πt), t ≠ 0 1, t = 0 } (一) g1(t) = sinc²(2t)。(10分) (二) g2(t) = sinc(t) * sinc(4t)，其中 * 代表卷積（convolutional integral）運算。(10分)
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
g1(t) = sinc²(2t)。(10分)
思路引導 VIP
看到 sinc 平方的題型，應直覺聯想到傅立葉轉換的『標準對應關係』與『運算性質』。解題切入點為：先利用對偶性找出 sinc(t) 對應的矩形函數 rect(f)，接著套用時間尺度調整性質（Time scaling）處理 2t 的參數，最後利用『時域相乘等於頻域卷積』的特性，將兩個矩形函數做卷積，即可推導出三角形函數的頻譜。
小題 (二)
g2(t) = sinc(t) * sinc(4t)，其中 * 代表卷積（convolutional integral）運算。(10分)
思路引導 VIP
遇到時域的卷積運算，應立刻聯想到傅立葉轉換的「卷積定理（Convolution Theorem）」，將時域卷積轉換為頻域的相乘。接著利用「時間尺度變換性質」分別求出兩個 sinc 函數的頻譜（皆為矩形函數），最後執行頻域相乘取其重疊區域即可求得答案。