普考申論題
105年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
有一濾波器其脈衝響應（impulse response）為 h(t) = 2W sinc(2W(t - τ)) 其中 W 及 τ 為大於零之常數。（每小題 10 分，共 20 分） (一)求該濾波器的頻率響應。 (二)若該濾波器的輸入訊號為 x(t) = cos(πWt) + cos(4πWt)，求濾波器的輸出為何？
有一濾波器其脈衝響應（impulse response）為 h(t) = 2W sinc(2W(t - τ)) 其中 W 及 τ 為大於零之常數。（每小題 10 分，共 20 分） (一)求該濾波器的頻率響應。 (二)若該濾波器的輸入訊號為 x(t) = cos(πWt) + cos(4πWt)，求濾波器的輸出為何？
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求該濾波器的頻率響應。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗傅立葉轉換的基礎對偶性與時移特性。看到 sinc 函數的脈衝響應，應直覺聯想到頻域必定為對應的理想矩形函數（rect），接著再結合時間延遲（t - τ）補上線性相位項即可求得頻率響應。
小題 (二)
若該濾波器的輸入訊號為 x(t) = cos(πWt) + cos(4πWt)，求濾波器的輸出為何？（10 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先找出輸入訊號各項的頻率成分，接著與第一小題推導出的濾波器頻寬（理想低通濾波器，截止頻率為 W）進行比較。落在通帶內的訊號予以保留並加入時間延遲 $\tau$，落在阻帶內的成分則直接被濾除。
理想低通濾波器
💡 利用 Sinc 函數轉換對與時移特性推導濾波器頻率響應
🔗 頻率響應推導三步驟
- 1 基礎轉換 — 確認 2W sinc(2Wt) 對應頻域 rect 矩形函數
- 2 時移處理 — 套用特性將 t-τ 轉換為相位因子 e^(-j2πfτ)
- 3 結果合成 — 結合振幅與相位得出完整的 H(f) 分段函數
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🔄 延伸學習：延伸學習：分析此濾波器對不同頻率餘弦訊號的濾除效果
