普考申論題
108年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
二、一個信號m(t)其頻譜M( f )為 M(f) = { A * (W - |f|) / W, -W ≤ f ≤ W; 0, 其它 } 現其通過如下圖之系統，其中帶通濾波器之中心頻率為 f₀、頻寬為 2W，而低通濾波器之頻寬為 W， f₀ > 3W。 (圖示包含：m(t) 與 cos(2πf₀t) 相加得到 x(t)，通過平方器得到 y₁(t) = x²(t)，通過帶通濾波器得到 y₂(t)，與 cos(2πf₀t) 相乘得到 y₃(t)，最後通過低通濾波器得到 y₄(t))
二、一個信號m(t)其頻譜M( f )為 M(f) = { A * (W - |f|) / W, -W ≤ f ≤ W; 0, 其它 } 現其通過如下圖之系統，其中帶通濾波器之中心頻率為 f₀、頻寬為 2W，而低通濾波器之頻寬為 W， f₀ > 3W。 (圖示包含：m(t) 與 cos(2πf₀t) 相加得到 x(t)，通過平方器得到 y₁(t) = x²(t)，通過帶通濾波器得到 y₂(t)，與 cos(2πf₀t) 相乘得到 y₃(t)，最後通過低通濾波器得到 y₄(t))
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
求x(t)、y₁(t)、y₂(t)、y₃(t)及y₄(t)之頻譜表示式。（10 分）
思路引導 VIP
本題為典型的非線性系統調變與解調分析。解題關鍵在於「時域-頻域」的對應轉換，建議先寫出經過乘法或平方器後的時域信號展開式，再利用傅立葉轉換的調變定理與摺積特性轉為頻譜表示式。最後務必利用題目給定的頻寬條件（如 $f_0 > 3W$）來判斷哪些頻率成分能通過濾波器通帶。
小題 (二)
繪製各信號之頻譜圖。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗非線性調變（利用平方器）的頻譜推導能力。看到這題，應先將每個節點寫成時域數學式，再利用傅立葉轉換的調變定理與摺積性質轉至頻域。過程中需注意題目條件 $f_0 > 3W$，此為判斷各頻段成分（如基頻展開與調變頻帶）是否發生重疊的關鍵，最後再依照濾波器通過頻帶篩選對應頻段並繪製特徵。
小題 (三)
求各信號之頻寬。（5 分）
思路引導 VIP
看到此題先觀察系統架構，這是一個典型的非線性（平方律）調變與相干解調系統。解題關鍵在於利用時域相乘等同於頻域摺積的特性（如 m²(t) 的頻寬為 2W），並寫出經過每個數學運算元件後的時域表示式。接著搭配帶通與低通濾波器的頻帶範圍條件（f₀ > 3W），剔除不需要的頻譜成分，即可推導出各節點信號的精確頻寬。
通訊系統頻譜分析
💡 運用調變定理與摺積性質，分析信號通過非線性元件與濾波器之頻譜變化。
🔗 信號處理頻譜演化鏈
- 1 加法與調變 — 基頻 M(f) 加入載波脈衝成分
- 2 平方運算 — 產生自摺積項、調變項與兩倍頻項
- 3 BPF 篩選 — 保留中心在 f0 的調變信號 M(f±f0)
- 4 二次調變 — 將頻譜再次左右平移 f0，移回基頻
- 5 LPF 輸出 — 濾除高頻成分，還原基頻 M(f)
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🔄 延伸學習：延伸學習：此架構類似平方律解調過程，需注意 carrier-to-signal ratio 對失真的影響。
