普考申論題
114年
[電信工程] 通信系統概要
第 四 題
四、考慮下圖中的系統：
[圖表省略，描述：x(t) 乘以 cos(5wt) 進入帶通濾波器(在-5w~-3w, 3w~5w有值，值為1)，再乘以 cos(3wt) 進入低通濾波器(在-3w~3w有值為1)，輸出 y(t)]
其中 x(t)為輸入訊號，y(t)為輸出訊號。假設 X(j$\omega)$為 x(t)的傅立葉轉換（Fourier transform），且 X(j$\omega)$的頻譜如下圖所示：[三角形頻譜從 -2w 到 2w，頂點在0，高度為1]
請描繪出該系統輸出訊號的頻譜 Y(j$\omega)$。（15 分）
[圖表省略，描述：x(t) 乘以 cos(5wt) 進入帶通濾波器(在-5w~-3w, 3w~5w有值，值為1)，再乘以 cos(3wt) 進入低通濾波器(在-3w~3w有值為1)，輸出 y(t)]
其中 x(t)為輸入訊號，y(t)為輸出訊號。假設 X(j$\omega)$為 x(t)的傅立葉轉換（Fourier transform），且 X(j$\omega)$的頻譜如下圖所示：[三角形頻譜從 -2w 到 2w，頂點在0，高度為1]
請描繪出該系統輸出訊號的頻譜 Y(j$\omega)$。（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道經典的通訊系統頻譜分析題，考查調變定理與濾波器的應用。解題關鍵在於逐步追蹤訊號在頻域中的變化：每次乘上餘弦波即代表頻譜平移並將振幅減半，接著依據帶通與低通濾波器的通帶範圍截取對應的頻段，最後精確計算出輸出頻譜的形狀與振幅峰值。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】利用傅立葉轉換的調變性質（頻譜平移）及理想濾波器的截斷特性，逐步推導各節點的頻譜分佈。 【詳解】 設輸入訊號 $x(t)$ 的頻譜為 $X(j\omega)$，其為一個中心在 $\omega=0$、底邊從 $-2w$ 到 $2w$、峰值為 1 的等腰三角形。
▼ 還有更多解析內容
頻譜平移與濾波分析
💡 利用傅立葉調變性質進行頻譜平移，並結合濾波器截斷特性。
🔗 系統訊號處理因果鏈
- 1 第一次調變 — 乘 cos(5wt) 使原始三角形移至中心 5w 與 -5w
- 2 帶通濾波 — 保留區間 [3w, 5w] 與 [-5w, -3w] 的三角形斜邊
- 3 第二次調變 — 再乘 cos(3wt) 使殘餘斜邊移回基頻與高頻 8w
- 4 低通濾波 — 濾除高頻成分，僅保留落在 [-2w, 2w] 的 V 型頻譜
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：此過程即為通訊系統中混頻 (Mixing) 與濾波的基礎模型。
