普考申論題 110年 [電信工程] 通信系統概要

第一題

📖 題組：
一、求以下訊號之傅立葉轉換：（每小題 10 分，共 20 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

x(t) = t × sinc(t)

看到函數中帶有 t 與 sinc(t) 相乘，首要直覺不一定是使用『時域乘 t 等同頻域微分』的性質。通訊工程中常定義 sinc(t) = sin(πt)/(πt)，代入後 t 會直接消去，將題目大幅簡化為求單純正弦波的傅立葉轉換，此為國考常見的觀念陷阱題，先化簡再轉換才是最快且不易出錯的方法。

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【解題思路】利用通訊系統中標準 sinc 函數的定義將原式展開，消去變數 t 後化簡為單純的弦波訊號，再利用傅立葉轉換的基本對應關係與歐拉公式求得頻譜。【詳解】已知：在通訊領域中，標準的 sinc 函數定義為 $sinc(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$。

x(t) = rect(t - 1) + rect(t + 1)

看到矩形函數的平移組合，首先聯想基本矩形函數 rect(t) 的傅立葉轉換對為 sinc(f)。接著套用傅立葉轉換的「時間平移特性」與尤拉公式（Euler's formula）將複數指數項化簡為餘弦函數（cos），即可快速得解。

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【解題思路】利用基本傅立葉轉換對 $\text{rect}(t) \leftrightarrow \text{sinc}(f)$，結合時間平移特性與尤拉公式進行求解。【詳解】已知：