高考申論題
109年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
以馬達驅動一個半徑為R的滑輪，馬達轉子與滑輪的合併慣量為J，電梯軸承的線性阻尼係數為B，電梯此時的質量為M。 (一)請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分） (二)請推導電梯從馬達扭力T(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）
以馬達驅動一個半徑為R的滑輪，馬達轉子與滑輪的合併慣量為J，電梯軸承的線性阻尼係數為B，電梯此時的質量為M。 (一)請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分） (二)請推導電梯從馬達扭力T(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分）
思路引導 VIP
這是一個典型的機電/機械系統建模題，結合了旋轉運動與平移運動。解題第一步是畫出自由體圖(FBD)，定義座標方向。接著，分別針對旋轉部分(馬達與滑輪)和平移部分(電梯質量)寫出牛頓第二運動定律的方程式。必須注意到結合兩者的關鍵是「繩索張力」以及運動學的連動關係（角加速度與直線加速度的轉換）。最後透過代數運算消去未知的張力變數，整理成只含輸入(扭力)與輸出(位移)的單一微分方程式。
小題 (二)
請推導電梯從馬達扭力T(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）
思路引導 VIP
本題建立在第一小題的動態方程式之上。轉移函數的定義是「在所有初始條件為零的假設下，系統輸出拉氏轉換與輸入拉氏轉換的比值」。需注意的是，對於線性非時變系統求轉移函數時，常數干擾項（如重力）會視為在工作點(operating point)展開而予以忽略（因為它不影響動態變動量）。直接將微積分方程式轉換為 $s$ 域，然後求取比值即可。
小題 (三)
試繪製包含K可為正負值之完整根軌跡。(10分)
思路引導 VIP
本題要求繪製包含 K 正負值的完整根軌跡。解題應先找出開迴路極點與零點，因極點與零點數量相等 (n=m=3)，故無漸近線。接著利用特徵方程式與羅斯準則(Routh-Hurwitz)判定虛軸交點，並分別計算 K>0 (180度軌跡) 與 K<0 (0度軌跡) 的實軸分佈、複數點的出發/到達角，最後留意 K=-1 時特徵方程式降階所導致的無窮遠根現象即可精確作圖。
小題 (四)
由羅斯表(Routh Table)決定K形成該閉迴路 BIBO 之穩定條件。(5分)
思路引導 VIP
解決此題的關鍵是建立閉迴路特徵方程式 1+KG(s)H(s)=0，並展開為標準多項式。接著建構羅斯表（Routh Table），利用第一行元素不能變號的原則求解。特別注意本題 s^1 列會算出常數負值，因此第一行所有元素皆須為負號，從而取交集解出 K 的範圍。