地特三等申論題
108年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
二、使用一個用來揚升重物的滑輪如下圖(a)，若滑輪與轉軸的轉動慣量為J，滑輪的半徑為 R，軸承的阻尼係數為 B。 (一)請推導本系統從輸入扭力τ (t)到輸出角度θ(t)之間的動態方程式。（10 分） (二)若將此滑輪用來揚升一個質量為 M 的重物如下圖(b)所示，在絞索的質量可忽略且無長度之延展性下，請推導此系統從輸入扭力τ (t)到輸出位置 y(t)之間的動態方程式。（10 分）
二、使用一個用來揚升重物的滑輪如下圖(a)，若滑輪與轉軸的轉動慣量為J，滑輪的半徑為 R，軸承的阻尼係數為 B。 (一)請推導本系統從輸入扭力τ (t)到輸出角度θ(t)之間的動態方程式。（10 分） (二)若將此滑輪用來揚升一個質量為 M 的重物如下圖(b)所示，在絞索的質量可忽略且無長度之延展性下，請推導此系統從輸入扭力τ (t)到輸出位置 y(t)之間的動態方程式。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
若將此滑輪用來揚升一個質量為 M 的重物如下圖(b)所示，在絞索的質量可忽略且無長度之延展性下，請推導此系統從輸入扭力τ (t)到輸出位置 y(t)之間的動態方程式。（10 分）
思路引導 VIP
- 遇到機電/物理系統建模題，首要步驟是利用「分離體圖（FBD）」分別列出各元件的動態方程式（重物的平移牛頓第二定律與滑輪的旋轉牛頓第二定律）。
- 接著找出系統的「耦合條件」，此題為繩索不可伸長的幾何約束（y=Rθ），藉此將旋轉變數轉換為平移變數 y(t)，聯立方程式並消去內部張力 T 即可得解。
小題 (一)
請推導本系統從輸入扭力τ (t)到輸出角度θ(t)之間的動態方程式。（10 分）
思路引導 VIP
看到單純旋轉機械系統的建模題，首先應聯想「旋轉系統的牛頓第二定律」。找出作用於系統上的所有力矩（包含主動輸入扭力與被動的黏滯阻尼力矩），並使其總和等於轉動慣量乘上角加速度，即可列出微分方程式。
滑輪重物系統動態建模
💡 運用牛頓運動定律與幾何約束條件建立力學系統數學模型
🔗 力學建模標準求解流程
- 1 幾何約束 — 確立 y=Rθ, vy=Rω, ay=Rα 之關係
- 2 自由體圖分析 — 標記重物受力 (T, Mg) 與滑輪受矩 (τ, Bθ', TR)
- 3 建立運動方程 — 列出 ΣF=ma 與 ΣM=Jα 方程式
- 4 變數代換整合 — 消去中間變數 T，將 θ 換算為目標輸出 y
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🔄 延伸學習：延伸學習：可進一步利用拉氏轉換求取系統的傳遞函數 G(s) = Y(s)/Τ(s)
