高考申論題
109年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
不穩定系統的轉移函數為 $G(s)=\frac{1}{(s-1)(s-2)}$，若吾人以一個PD控制器 $G_c(s)=K_p(s+1)$ 來控制此系統。 (一)請計算本系統穩定之Kp範圍。（10分） (二)當系統在穩定邊界狀態時，系統的振動頻率為何？（10分）
不穩定系統的轉移函數為 $G(s)=\frac{1}{(s-1)(s-2)}$，若吾人以一個PD控制器 $G_c(s)=K_p(s+1)$ 來控制此系統。 (一)請計算本系統穩定之Kp範圍。（10分） (二)當系統在穩定邊界狀態時，系統的振動頻率為何？（10分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請計算本系統穩定之Kp範圍。（10分）
思路引導 VIP
分析控制系統的穩定性範圍，標準作法是應用「勞斯-赫維茲(Routh-Hurwitz)穩定準則」。首先，必須寫出包含控制器的「閉迴路特徵方程式」。展開並整理成 $s$ 的降冪多項式後，建立羅氏表。穩定性的充要條件是羅氏表第一行的所有元素皆必須大於零。藉此可以列出多個關於 $K_p$ 的不等式，取其交集即為穩定的 $K_p$ 範圍。
小題 (二)
當系統在穩定邊界狀態時，系統的振動頻率為何？（10分）
思路引導 VIP
「穩定邊界狀態(Marginal Stability)」意味著系統有一對共軛純虛根落在 $s$ 平面的虛軸上，對應於時域中的等幅持續震盪。在羅氏表分析中，這種情況會出現「某一整列全為零」。解題步驟：1. 找出使羅氏表出現全零列(通常是 $s^1$ 列)的 $K_p$ 值。 2. 利用全零列的上一列(即 $s^2$ 列)建構「輔助方程式(Auxiliary Equation)」。 3. 解輔助方程式 $A(s)=0$，求出的根 $s = \pm j\omega$ 中的 $\omega$ 即為系統的振動頻率。