高考申論題
109年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
A渡假村管理高層想了解會員在渡假村的消費金額及對渡假村服務的滿意程度。已知A渡假村的會員人數為15000人，以重複系統抽樣法，自會員名冊中抽出10組「300取1」的系統樣本進行調查，得每位會員在渡假村的平均消費金額（以萬元計），及不滿意渡假村服務的人數資料如下表： 組別 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均消費金額 1.85 3.50 2.75 3.50 3.38 2.38 3.12 3.62 3.25 4.25 不滿意人數 10 8 9 12 11 7 6 11 5 6
A渡假村管理高層想了解會員在渡假村的消費金額及對渡假村服務的滿意程度。已知A渡假村的會員人數為15000人，以重複系統抽樣法，自會員名冊中抽出10組「300取1」的系統樣本進行調查，得每位會員在渡假村的平均消費金額（以萬元計），及不滿意渡假村服務的人數資料如下表： 組別 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均消費金額 1.85 3.50 2.75 3.50 3.38 2.38 3.12 3.62 3.25 4.25 不滿意人數 10 8 9 12 11 7 6 11 5 6
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計每位會員到A渡假村的平均消費金額，並求算此平均消費金額的95%信賴區間。同時，利用此區間，判斷每位會員到A渡假村的平均消費金額是否顯著大於3萬元？（15分）
思路引導 VIP
- 辨識抽樣法：本題明確指出使用「重複系統抽樣法」（Repeated Systematic Sampling），此方法的優點是能利用樣本組間的變異來簡單估計抽樣誤差。
- 參數估計：平均數的點估計即為各組平均數的算術平均值。
小題 (二)
估計不滿意A渡假村服務的會員總數及其95%誤差界限。（10分）
思路引導 VIP
- 總數估計：本題為重複系統抽樣，每組包含 15000 / 300 = 50 位會員。10 組樣本代表 10 個群集。
- 點估計：總數 $\hat{\tau}$ 可以由樣本總數的平均值再乘上母體組數 $N=300$ 來求得。
小題 (三)
在試行此一規定三個月後，主任委員想再做一次同樣的調查，請問在抽樣設計及總抽樣數均維持不變的情況下，可以如何來改進推估的精確程度？（10分）
思路引導 VIP
看到此題，應先辨識出本題為「分層隨機抽樣」的應用。原抽樣設計採用了「等額配置（各層皆抽50戶）」，忽略了各棟大樓戶數（層大小）與意見分歧度（層變異數）的差異。要提高精確度（降低估計量的變異數），最佳作法是利用前次調查的樣本比例資料估計各層變異數，改採「紐曼最佳配置（Neyman Allocation）」。