高考申論題
109年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
四、一保險公司精算人員利用下列簡單線性迴歸模型來建立某美食外送平台，其外送員車險理賠金額（Y）與理賠請求機車騎行里程數（X）之間的關係： y_i = β_0 + β_1x_i + ε_i , i = 1, …, 20 其中 y_i （單位為千元）為第i件理賠請求的理賠金額，而 x_i （單位為千公里）為第i件理賠請求機車之騎行里程數，共計20件理賠請求；隨機誤差ε₁, …, ε₂₀ 為彼此獨立，期望值為0變異數皆為 σ² 的常態分配。根據上述20件理賠請求，且利用最小平方法（least squares method）來估計β_0 及 β_1，得到下列資訊：x₁, …, x₂₀ 與 y₁, …, y₂₀ 的相關係數為0.693，y₁, …, y₂₀ 之變異數為x₁, …, x₂₀之變異數的0.52倍，估計迴歸關係式為： Ŷ = 0.5 + 0.5X
四、一保險公司精算人員利用下列簡單線性迴歸模型來建立某美食外送平台，其外送員車險理賠金額（Y）與理賠請求機車騎行里程數（X）之間的關係： y_i = β_0 + β_1x_i + ε_i , i = 1, …, 20 其中 y_i （單位為千元）為第i件理賠請求的理賠金額，而 x_i （單位為千公里）為第i件理賠請求機車之騎行里程數，共計20件理賠請求；隨機誤差ε₁, …, ε₂₀ 為彼此獨立，期望值為0變異數皆為 σ² 的常態分配。根據上述20件理賠請求，且利用最小平方法（least squares method）來估計β_0 及 β_1，得到下列資訊：x₁, …, x₂₀ 與 y₁, …, y₂₀ 的相關係數為0.693，y₁, …, y₂₀ 之變異數為x₁, …, x₂₀之變異數的0.52倍，估計迴歸關係式為： Ŷ = 0.5 + 0.5X
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
在顯著水準α = 0.05，利用F檢定法檢定 H_0 : β_1 = 0 對 H_1 : β_1 ≠ 0。（4分）
思路引導 VIP
本題要求使用 F 檢定來進行迴歸係數的顯著性檢驗。
- 寫出檢定的假設 $H_0: \beta_1 = 0$ 與對立假設 $H_1: \beta_1 \neq 0$。
小題 (一)
請算出判定係數（coefficient of determination） R² 。（2分）
思路引導 VIP
本題測驗簡單線性迴歸中「判定係數」與「相關係數」的關係。 在只有一個自變數的簡單線性迴歸中，判定係數 R² 直接等於皮爾森相關係數 r 的平方。題目已給定相關係數 r = 0.693，直接平方即可求得。
小題 (三)
在顯著水準α = 0.05，利用t檢定法檢定 H_0 : β_1 ≥ 1 對 H_1 : β_1 < 1。（4分）
思路引導 VIP
這是一個單尾的 t 檢定。
- 統計量公式：$t = \frac{\hat{\beta}_1 - 1}{se(\hat{\beta}_1)}$。
📜 參考法條
附表二：t 分配臨界值表
附表三：F 分配臨界值表