高考申論題
114年
[統計] 統計學
第 四 題
📖 題組：
某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了 50 戶農家的資料，得到敘述統計量如下： 產量（千公斤）：樣本平均 10.68，樣本變異數 10.30 耕作面積（甲）：樣本平均 6.78，樣本變異數 4.18 氮肥用量（百公斤）：樣本平均 6.64，樣本變異數 6.24 相關係數： （產量、耕作面積）：0.71 （產量、氮肥用量）：0.52 （耕作面積、氮肥用量）：0.68
某人為瞭解稻米產量、耕作面積及氮肥用量間之關係，蒐集了 50 戶農家的資料，得到敘述統計量如下： 產量（千公斤）：樣本平均 10.68，樣本變異數 10.30 耕作面積（甲）：樣本平均 6.78，樣本變異數 4.18 氮肥用量（百公斤）：樣本平均 6.64，樣本變異數 6.24 相關係數： （產量、耕作面積）：0.71 （產量、氮肥用量）：0.52 （耕作面積、氮肥用量）：0.68
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
在(三)的多元線性迴歸模型所得之變異數分析（ANOVA）表如下：
變異來源 平方和 自由度 均方 F 值
迴歸 256.61 2 128.305 24.291
殘差 248.27 47 5.282
總變異 504.88 49
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
變異來源 平方和 自由度 均方 F 值
迴歸 256.61 2 128.305 24.291
殘差 248.27 47 5.282
總變異 504.88 49
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查多元迴歸中的「部分 F 檢定」（Partial F-test）。解題關鍵在於利用已知的「產量與耕作面積相關係數」求出簡單線性迴歸的迴歸平方和，再透過給定的 ANOVA 表計算出「額外平方和」（Extra Sum of Squares），藉此評估新增「氮肥用量」變數的邊際顯著性。
小題 (一)
試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配為何？
思路引導 VIP
本題測驗『混合分配（Mixture Distribution）』的概念。看到不同情境伴隨不同的發生機率，且各自對應不同的條件機率分配時，應直覺想到運用『全機率定理』，將兩個條件波瓦松（Poisson）分配依其發生機率進行加權，求出邊際機率質量函數。
小題 (二)
試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與標準差。
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻辨識出這是「混合分配（Mixture Distribution）」的題型。遇到這類題目，標準作法是設定狀態變數表示不同情境，並利用「全期望值定理」與「全變異數定理」逐步拆解條件期望值與條件變異數，切忌直接將平均數與機率相乘後當作單一 Poisson 分配計算。
小題 (三)
若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為 1 小時與 5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過 2 小時之比例約多少？
思路引導 VIP
本題測驗「全機率定理」與「指數分配」的綜合應用。考生應先根據題意寫出兩種誤點情況的指數分配參數（注意平均數與參數互為倒數關係），再分別求出條件機率，最後利用全機率定理將各條件下超過 2 小時的機率依發生權重相加即可得解。
📜 參考法條
F分配表
部分 F 檢定
💡 檢定在既有解釋變數下，新加入之變數是否具備顯著的額外解釋能力。
🔗 部分 F 檢定運算步驟
- 1 求簡模型 SSR — 利用簡單相關係數平方乘以 SST 求得 SSR(X1)。
- 2 求額外平方和 — 多元 SSR 減去簡模型 SSR，得到新變數帶來的貢獻。
- 3 標準化檢定力 — 將額外平方和除以全模型的殘差均方 (MSE)。
- 4 顯著性判讀 — 查 F 分配表決定是否落入拒絕域。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當僅檢定一個變數時，部分 F 檢定與 t 檢定的結論會完全一致。
