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高考申論題 114年 [統計] 統計學

第 一 題

📖 題組：
某人想要研析三種不同的灌溉方式對產量的影響，規劃了 15 塊面積相同的農地，每種灌溉方式各隨機選擇 5 塊農地加以應用，三種灌溉方式所得產量資料整理後如下表： 灌溉方式 A B C 樣本平均 15.4 18.4 28.4 樣本變異數 9.3 20.8 18.3 經一因子變異數分析後，發現三種灌溉方式之產量確有顯著之差距，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請寫出一因子變異數分析之變異數分析表（含檢定三種灌溉方式之產量是否相同之檢定統計量值）。（10 分）

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本題測驗一因子變異數分析（One-Way ANOVA）的計算與製表能力。解題關鍵在於利用各組的樣本平均數與樣本變異數，分別推導出處理間變異平方和（SST）與誤差平方和（SSE），進而求得均方（MS）與檢定統計量 F 值，最後整理成標準 ANOVA 表。

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【解題關鍵】利用各組樣本平均數求組間平方和（SSTR），利用各組樣本變異數求組內誤差平方和（SSE），並依此建立 ANOVA 表。 【解答】 已知條件整理：

小題 (二)

因為一因子變異數分析顯示三種灌溉方式之產量顯著不同，請用費雪之最小顯著差異法（Fisher’s Least Significant Difference），以單一成對比較信心水準為 95%之基準下，判斷那幾組成對之兩種灌溉方式產量比較有顯著之不同。（10 分）

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考生應先計算組內均方(MSE)作為母體變異數的估計值，接著查出對應自由度的 t 分配臨界值。最後計算出 LSD 值，並將各組樣本平均數的兩兩差值絕對值與 LSD 進行比較，大於 LSD 者即判定為具有顯著差異。

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【解題思路】利用各組樣本變異數求出組內均方(MSE)，代入 Fisher's LSD 公式計算最小顯著差異值，最後與各組成對平均數的差值絕對值進行比較以判斷顯著性。 【詳解】 已知：各組樣本數 $n_A = n_B = n_C = 5$，總樣本數 $N = 15$，組數 $k = 3$。

小題 (三)

承(二)中之整體型一誤差機率為何（亦即產生至少一次型一誤差之機率）？若用邦佛洛尼校正法（Bonferroni correction）調整單一成對檢定之顯著水準，調整後之單一成對檢定之顯著水準以及整體型一誤差機率為何？（5 分）

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本題測驗多重比較（Multiple Comparisons）下型一誤差膨脹的問題。解題關鍵在於先計算成對比較的總次數，接著利用獨立性假設求出未校正前的整體型一誤差（FWER）。最後，運用邦佛洛尼不等式（Bonferroni inequality）將整體顯著水準平分給各個檢定，以求得校正後的單一顯著水準與控制後的整體型一誤差。

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【解題思路】運用多重比較的整體型一誤差（FWER）定義及邦佛洛尼不等式（Bonferroni inequality）進行推導與校正。 【詳解】 已知：三種灌溉方式（k = 3），任挑兩種進行成對比較的總次數為 m = C(3,2) = 3 次。因題目未明示前題(二)之單一顯著水準，依統計檢定慣例假設單一成對檢定之顯著水準為 α = 0.05，且預期控制之整體型一誤差目標亦為 α_E = 0.05。

📜 參考法條

t分配表 F分配表

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