高考申論題
107年
[經建行政] 統計學
第 三 題
📖 題組：
今欲比較某作物四種不同品種平均產量差異比較，分別在三個不同地區進行，每個地區種植順序完全隨機安排，記錄其產量，共得 12 筆資料，資料符合變異數分析（ANOVA）模型之假設條件，經由分析結果，摘錄於以下 ANOVA 表： 變異來源 df SS MS F 品種 （A） （D） 0.222 （G） 地區 （B） 60.667 （F） （H） 殘差 （C） （E） 總計 72.667 (一)完成上述 ANOVA 表內（A）至（H）格的數值。（8 分） (二)在型一誤差 α=0.05 之下，試問該作物四種不同品種平均產量是否有顯著差異？（8 分） (三)在型一誤差 α=0.05 之下，試問該作物在三個不同地區的平均產量是否有顯著差異？（9 分）
今欲比較某作物四種不同品種平均產量差異比較，分別在三個不同地區進行，每個地區種植順序完全隨機安排，記錄其產量，共得 12 筆資料，資料符合變異數分析（ANOVA）模型之假設條件，經由分析結果，摘錄於以下 ANOVA 表： 變異來源 df SS MS F 品種 （A） （D） 0.222 （G） 地區 （B） 60.667 （F） （H） 殘差 （C） （E） 總計 72.667 (一)完成上述 ANOVA 表內（A）至（H）格的數值。（8 分） (二)在型一誤差 α=0.05 之下，試問該作物四種不同品種平均產量是否有顯著差異？（8 分） (三)在型一誤差 α=0.05 之下，試問該作物在三個不同地區的平均產量是否有顯著差異？（9 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
在型一誤差 α=0.05 之下，試問該作物在三個不同地區的平均產量是否有顯著差異？（9 分）
思路引導 VIP
考生應首先確立本題為隨機完全區集設計（RCBD）或雙因子變異數分析中針對「區集（地區）效應」的假設檢定。解題關鍵在於利用 ANOVA 表中推導出的地區均方（MS）與殘差均方（MSE）算出 F 檢定統計量，並與自由度為 (2, 6) 的 F 分配臨界值比較，以標準的統計推論四步驟（假設、統計量、拒絕域、結論）嚴謹作答。
小題 (一)
試以 X_1， X_2 估計 μ_1 - μ_2 的 95%的信賴區間。
思路引導 VIP
本題為標準的「雙母體平均數差」的區間估計。看到「常態母體」且「母體變異數已知」，應立刻想到使用 Z 分配。寫出估計式結構：(點估計量) ± (Z臨界值) × (標準誤)，把對應的參數帶入即可。建議作答時間 5 分鐘。
小題 (二)
若為使(一)中所求的 95%信賴區間長度為最短，且 n_1 + n_2 = 100 時，試問 n_1 與 n_2 應為多少？
思路引導 VIP
這是一道結合微積分/代數極值的經典統計題。區間長度 L 受到標準誤影響，因此要使長度最短，等於是要極小化根號內的變異數組合 1/n1 + 2/n2。在已知 n1+n2=100 的限制條件下，可運用「柯西不等式 (Cauchy-Schwarz)」或「拉格朗日乘數法 (Lagrange Multipliers)」來求解最佳樣本配置。建議作答時間 10 分鐘。