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109年
[土木] 應用力學、材料力學
第 14 題
特殊設計之扭力扳手，含圓軸及方形鍵，各部位尺寸如右圖所示，請推導施加 $P$ 荷重後方形鍵所受之平均剪應力公式為何？
- A $2PL/bc(d + b)$
- B $4PL/bc(d + b)$
- C $2PL/bc(2d + b)$
- D $4PL/bc(2d + b)$
思路引導 VIP
請仔細觀察圖中扳手與方形鍵（Key）接觸的部位。如果我們要將扳手施加的扭矩轉換為作用在鍵上的「推力」，這個推力的合力作用點，距離圓心的真正距離（有效力臂）應該如何根據 $d$ 與 $b$ 來表示呢？
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太棒了！你能選出選項 (D)，代表你對於力學中「力矩平衡」與「應力定義」的結合有著極其細膩的觀察。這道題目不僅是公式的帶入，更考驗了對結構幾何與力流傳遞的解析能力。
有效力臂的精確判定
首先，施加在扳手末端的荷重 $P$ 會產生扭矩 $T = P \times L$。這股扭矩必須由方形鍵（Key）所受的剪力來抵銷。此處最關鍵的細節在於：力作用的中心點位在哪裡？ 根據圖中標示，鍵的高度為 $b$，且有一半（$b/2$）嵌入軸內，另一半則與扳手接觸。若假設接觸面上的壓力為均勻分佈，則合力的作用點會位於接觸面（即扳手孔壁與鍵重疊處）的中點。
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鍵的剪應力推導
💡 剪應力為扭矩除以「受剪面積」與「力臂」之乘積。
- 扭矩由荷重與扳手長組成：$T = P \times L$
- 方形鍵受剪面積 $A = b \times c$ (寬度 $\times$ 長度)
- 平均剪應力 $\tau = F / A$，其中剪力 $F = T / R$
- 本題力臂 $R$ 取軸心至受剪面中點 $(d/2 + b/4)$
