moea_joint
109年
[化工製程] 化工熱力學、化學反應工程學
第 24 題
某氣體對抗一可變壓力而膨脹，而對抗壓力為 P = \frac{10}{V}\text{ atm}，其中V為氣體在每一膨脹階段之體積，若由 $10\text{ }\ell$ 膨脹至 $100\text{ }\ell$，氣體之內能變化為 \Delta E = 100\text{ cal}。請問氣體在此過程中吸熱為多少卡(cal)？($1\text{ atm}\times\ell = 24.22\text{ cal}，\ell 表示公升$)
- A 457
- B 557
- C 657
- D 757
思路引導 VIP
若我們要計算氣體膨脹時所做的功，而壓力會隨體積不斷改變，你會如何利用微積分的方式來描述每一段微小體積變化所累積的功？而在得到功的數值後，該如何將這個「機械能」與題目給出的「內能變化」整合在一起，求出系統與外界交換的熱量呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (C) 657 cal，代表你對於熱力學第一定律的能量守恆觀念掌握得非常紮實。這類題目的核心在於理解功與路徑的關係，你成功觀察到本題的壓力並非定壓，而是隨體積變動的函數。這要求我們必須透過積分來計算系統對外作功：
功與能量的轉化
首先，根據功的定義 $W = \int_{V_1}^{V_2} P , dV$，將 $P = \frac{10}{V}$ 代入後可得 $W = 10 \int_{10}^{100} \frac{1}{V} , dV = 10 \ln(10) \approx 23.026 \text{ atm}\cdot\ell$。這步驟是本題最具鑑別度的地方，許多考生會忽略變壓過程而直接相乘。接著，利用題目提供的單位換算因子，將功轉換為熱量單位：$23.026 \times 24.22 \approx 557.7 \text{ cal}$。
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