地特三等申論題
110年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
隨機樣本 $X_{ij} \sim N(\theta_i, \sigma^2), i = 1, 2, 3, 4, j = 1,2, \dots , 10$。樣本觀察值的敘述性統計如下表： | $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | | 平均數 | 7 | 6 | 11 | 8 | | 標準差 | 2.75 | 2.21 | 2.62 | 2.54 | 在 $\alpha = 5\%$ 的顯著水準下，請完成下列假說檢定。 (一)$H_0: \theta_i = \theta \text{ for all } i \text{ vs. } H_1: \theta_i \neq \theta \text{ for some } i$。(20 分) (二)$H_0: \theta_2 - \theta_3 + \theta_4 = 0 \text{ vs. } H_1: \theta_2 - \theta_3 + \theta_4 \neq 0$。(10 分)
隨機樣本 $X_{ij} \sim N(\theta_i, \sigma^2), i = 1, 2, 3, 4, j = 1,2, \dots , 10$。樣本觀察值的敘述性統計如下表： | $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | | 平均數 | 7 | 6 | 11 | 8 | | 標準差 | 2.75 | 2.21 | 2.62 | 2.54 | 在 $\alpha = 5\%$ 的顯著水準下，請完成下列假說檢定。 (一)$H_0: \theta_i = \theta \text{ for all } i \text{ vs. } H_1: \theta_i \neq \theta \text{ for some } i$。(20 分) (二)$H_0: \theta_2 - \theta_3 + \theta_4 = 0 \text{ vs. } H_1: \theta_2 - \theta_3 + \theta_4 \neq 0$。(10 分)
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
H_0: $\theta_2 - \theta_3 + \theta_4 = 0 \text{ vs. } H_1$: $\theta_2 - \theta_3 + \theta_4 \neq 0$
思路引導 VIP
本題屬於變異數分析中母體平均數的線性對比（Linear Contrast）檢定。解題關鍵在於建構對比估計量，利用各組獨立及常態假設導出其變異數，並以所有樣本計算出的合併變異數（MSE）作為未知母體變異數的估計值，最後建構 T 統計量或 F 統計量進行檢定。
小題 (一)
H_0: $\theta_i = \theta \text{ for all } i \text{ vs. } H_1$: $\theta_i \neq \theta \text{ for some } i$
思路引導 VIP
本題旨在檢定多個常態母體平均數是否相等，應使用單因子變異數分析 (One-way ANOVA)。解題關鍵在於利用各組樣本平均數計算組間變異平方和 (SST)，並由各組樣本標準差推算組內變異平方和 (SSE)，最後建構 F 檢定統計量進行決策。
📜 參考法條
F分配臨界值表、常態分配表、t分配表