普考申論題
110年
[經建行政] 統計學概要
第 三 題
📖 題組：
男生是否比女生更願意花大錢購買高階手機？一項手機購買行為的調查以男女各 400 人為隨機樣本，其中有 280 位男生願意花大錢購買高階手機，而願意花此大錢的女生有 200 人。以 P1 與 P2 分別代表母體中男生與女生願意花大錢購買高階手機的比例。在 0.05 顯著水準之下，檢定男生比女生更願意花大錢購買高階手機。
男生是否比女生更願意花大錢購買高階手機？一項手機購買行為的調查以男女各 400 人為隨機樣本，其中有 280 位男生願意花大錢購買高階手機，而願意花此大錢的女生有 200 人。以 P1 與 P2 分別代表母體中男生與女生願意花大錢購買高階手機的比例。在 0.05 顯著水準之下，檢定男生比女生更願意花大錢購買高階手機。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
試求 P1－P2的 95%信賴區間。（10 分）
思路引導 VIP
看到兩獨立大樣本且詢問比例差的信賴區間，應先確認大樣本常態近似條件（即 np 與 n(1-p) 皆大於等於 5）。確認無誤後，即可代入兩獨立母體比例差的信賴區間公式進行精確計算。
小題 (一)
樣本比例與母體比例的差距在± 0.04 以內的機率是多少？（5 分）
思路引導 VIP
這是一題標準的「樣本比例抽樣分配」題型。首先要找出母體比例 p=0.40 與樣本數 n=380。根據中央極限定理，當 n 夠大時，樣本比例 p̂ 近似常態分配。考生需要先計算 p̂ 的標準誤 σ_p̂ = √(p(1-p)/n)，然後將要求的機率區間標準化為 Z 值，最後查閱卷首給的 Z 分配表求出機率。
小題 (二)
樣本比例大於 0.45 的機率是多少？（5 分）
思路引導 VIP
延續上一題的數據與抽樣分配，求 P(p̂ > 0.45)。只需將 0.45 減去母體比例 0.40，除以剛才算出的標準誤，求出 Z 值後，對應卷首的機率值即可。
📜 參考法條
附表：Z分配表
兩母體比例差估計
💡 以常態近似法估計兩獨立母體比例差的區間範圍。
🔗 兩母體比例差信賴區間推導步驟
- 1 點估計與差值 — 計算兩樣本比例 $\hat{p}_1, \hat{p}_2$ 並求其差。
- 2 常態近似檢核 — 確認各樣本數乘比例皆大於 5，適用 Z 分配。
- 3 查臨界值 — 依 $1-\alpha$ 決定雙尾 $Z_{\alpha/2}$（如 1.96）。
- 4 計算誤差界限 — 將臨界值乘以兩比例差之標準誤。
- 5 區間合成 — 由點估計值加減誤差界限得出最終區間。
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🔄 延伸學習：延伸學習：信賴區間若包含 0，表示兩母體比例無顯著差異。
