普考申論題
110年
[經建行政] 統計學概要
第 二 題
📖 題組：
研究者用多元迴歸分析，以燃料消耗量（單位 mpg：英里/每加侖）及汽車排氣量（單位：立方英寸）來預測汽車售價（單位：千元）。研究者隨機抽取 100 輛汽車進行研究，結果如下： ANOVA df SS MS F Regression Error 34,188,066 Total 43,506,728 係數 標準誤 截距 572.824 701.364 燃料消耗量 -9.362 13.344 汽車排氣量 7.515 2.641
研究者用多元迴歸分析，以燃料消耗量（單位 mpg：英里/每加侖）及汽車排氣量（單位：立方英寸）來預測汽車售價（單位：千元）。研究者隨機抽取 100 輛汽車進行研究，結果如下： ANOVA df SS MS F Regression Error 34,188,066 Total 43,506,728 係數 標準誤 截距 572.824 701.364 燃料消耗量 -9.362 13.344 汽車排氣量 7.515 2.641
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
欲知汽車排氣量之係數是否顯著，試問檢定統計量為何？（6 分）
思路引導 VIP
看到檢定「個別迴歸係數是否顯著」，應直覺想到使用 t 檢定。直接從變異數分析表下方的迴歸係數表中，提取「汽車排氣量」的係數估計值與對應的標準誤，利用公式相除即可求得檢定統計量。
小題 (一)
若一輛汽車燃料消耗量為每加侖 50 英里，排氣量為 100 立方英寸，售價為 549,900 元。根據迴歸分析結果做預測，試問殘差為何？（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先建立多元迴歸方程式。本題的最大陷阱在於「單位不一致」：模型中售價單位為「千元」，但題目給定的實際售價為「549,900 元」。因此，必須先將實際值轉換為「549.9 千元」，再代入公式求出預測值，最後利用「殘差 = 實際值 - 預測值」求得精確答案。
小題 (三)
欲知燃料消耗量與汽車排氣量之係數是否同時為 0，試問檢定統計量為何？（7 分）
思路引導 VIP
看到檢定多個自變數係數「同時為 0」，應立刻聯想到多元迴歸的「整體模型顯著性檢定」，需使用 ANOVA 表中的 F 檢定。解題關鍵在於利用樣本數 (n=100) 與自變數個數 (k=2) 求出各項自由度，並根據 SST = SSR + SSE 的關係補齊 ANOVA 表計算出 F 統計量。
小題 (四)
試問燃料消耗量和汽車排氣量可以解釋多少比例的汽車價格之變異量？（7 分）
思路引導 VIP
看到題目詢問「自變數可以解釋多少比例的依變數變異量」，應立即聯想到這是要求計算「判定係數（$R^2$）」。此題為送分計算題，不需理會下方的迴歸係數表，直接利用 ANOVA 表中的誤差平方和（SSE）與總平方和（SST），代入公式 $R^2 = 1 - (SSE / SST)$ 即可求解。