高考申論題
110年
[水利工程] 流體力學
第 二 題
📖 題組：
於一自由含水土體之地表面有穩定降雨強度 i (mm/hr)，若無地表逕流產生，給定土壤之水力傳導度 K、上游水位 h2、下游水位 h1、土體長度 L，且土體內滲流符合達西定律（Darcy’s Law）。
於一自由含水土體之地表面有穩定降雨強度 i (mm/hr)，若無地表逕流產生，給定土壤之水力傳導度 K、上游水位 h2、下游水位 h1、土體長度 L，且土體內滲流符合達西定律（Darcy’s Law）。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
推求土層中之寬流量 q(x)。（10 分）
思路引導 VIP
已經在第一小題求出水面線剖面方程式 $h^2(x)$，這小題只需直接應用達西定律。寬流量（單位寬度流量）公式為 $q(x) = -K \cdot h(x) \cdot \frac{dh}{dx} = -\frac{K}{2} \frac{d(h^2)}{dx}$。因此，只需要把第一小題算出來的 $h^2(x)$ 對 $x$ 微分，再乘以 $-K/2$ 即可得到答案。同時可以利用 $\frac{dq}{dx} = i$ 來驗算結果是否正確。
小題 (一)
推求土層中之地下水面線剖面 h(x)。（15 分）
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出這是地下水流力學中經典的「杜拜-福西默假設（Dupuit-Forchheimer assumption）」加上「均勻入滲補注」的題型。接著應該從連續方程式出發，建立單位寬度流量 $q_x$ 與入滲量 $i$ 的關係式（$dq_x/dx = i$）。再代入達西定律 $q_x = -K \cdot h \cdot (dh/dx)$，形成關於 $h(x)$ 的二階常微分方程式。最後，利用邊界條件（$x=0$ 時 $h=h_2$，$x=L$ 時 $h=h_1$）解出積分常數，即可求得地下水面線方程式。建議作答時間 15-20 分鐘。
無壓含水層流量推導
💡 運用達西定律與水面線方程式推導變動流量之函數關係。
🔗 寬流量方程式推導流程
- 1 物理定律 — 確立達西定律為基礎公式
- 2 幾何關係 — 代入含降雨項之水面線方程式
- 3 數學微積分 — 對水面線一階微分求流量函數
- 4 邏輯驗證 — 以連續條件 dq/dx = i 檢查
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🔄 延伸學習：延伸學習：邊界條件（如 h1, h2）對流量分布曲線的影響。
