高考申論題
110年
[機械工程] 流體力學
第 一 題
📖 題組：
一、於一自由含水土體之地表面有穩定降雨強度 i (mm/hr)，若無地表逕流產生，給定土壤之水力傳導度 K、上游水位 h2、下游水位 h1、土體長度 L，且土體內滲流符合達西定律（Darcy’s Law）。 (一)推求土層中之地下水面線剖面 h(x)。（15 分） (二)推求土層中之寬流量 q(x)。（10 分）
一、於一自由含水土體之地表面有穩定降雨強度 i (mm/hr)，若無地表逕流產生，給定土壤之水力傳導度 K、上游水位 h2、下游水位 h1、土體長度 L，且土體內滲流符合達西定律（Darcy’s Law）。 (一)推求土層中之地下水面線剖面 h(x)。（15 分） (二)推求土層中之寬流量 q(x)。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
推求土層中之地下水面線剖面 h(x)。（15 分）
思路引導 VIP
- 辨識物理情境：本題屬於「無壓地下水流（Unconfined Groundwater Flow）」並伴隨「均勻降雨補給（Recharge）」。這是地下水水力學中非常經典的 Dupuit 滲流模型。
- 確立核心假設：必須引用 Dupuit-Forchheimer 假設：(1) 水平流速在垂直方向上為均勻分佈；(2) 地下水面坡度很小，故水力坡降（Hydraulic gradient）可近似為自由水面的斜率 $\frac{dh}{dx}$。
小題 (二)
推求土層中之寬流量 q(x)。（10 分）
思路引導 VIP
- 理解物理量定義：寬流量（或單寬流量） $q(x)$ 代表在位置 $x$ 處，單位寬度的地下水流量。由於地表有均勻降雨入滲，流量 $q(x)$ 必然是 $x$ 的函數（即流量隨位置而變）。
- 連結前一題成果：利用第一小題中推導出的第一步積分關係式（式1）$\frac{d(h^2)}{dx} = -\frac{2i}{K}x + C_1$，再結合達西定律的定義 $q(x) = -\frac{K}{2} \frac{d(h^2)}{dx}$。
有補給無壓含水層滲流
💡 運用達西定律與連續方程式，推導含降雨補給之自由水面線方程式。
🔗 自由水面線解析解推導程序
- 1 物理假設 — 設定 Dupuit 假設，流線水平且坡降等於水面坡度
- 2 建立模型 — 結合 Darcy 定律與質量守恆 $dq/dx = i$ 建立微分方程
- 3 積分求解 — 執行二次積分獲得 $h^2$ 與 $x$ 的拋物線通解
- 4 特解分析 — 代入兩端邊界水位 $h_1, h_2$ 求出最終水面線公式
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🔄 延伸學習：延伸應用：求導 $h(x)$ 對 $x$ 微分為零處，可得地下水位最高點（分水嶺）。
