第 一 題

題目要求寬頂堰上的臨界水深。在明渠水力學中，對於矩形渠道（寬頂堰上方可視為矩形斷面），臨界水深的條件發生在福祿數（Froude number, Fr）等於 1，或者比能（Specific Energy）為最小值時。從比能方程式 $E = y + \frac{q^2}{2gy^2}$ 出發，對 $y$ 微分並令其為零，即可輕易推導出矩形斷面的臨界水深公式 $y_c = (q^2/g)^{1/3}$。這是一個非常基礎的送分題，重點在於寫出推導過程。

這是一題進階的明渠流現象題。當水流經過寬頂堰末端的自由跌水（Free overfall）時，水流由原本的靜水壓力分布轉變為跌水過程中的非靜水壓力分布（流線產生顯著的向下曲率）。因為離心力的關係，水面會產生洩降（Drawdown）。根據 Rouse（勞斯）等學者的理論推導與實驗證明，真正的臨界水深 $y_c$ 會發生在跌水邊緣往上游約 $3 \sim 4 y_c$ 的距離處，而在跌水邊緣處的水深 $y_b$（brink depth）會小於臨界水深，其經驗理論值約為 $y_b = 0.715 y_c$。答題時需解釋這個物理現象，並寫出此關係值。