高考申論題
110年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
三、依題二的迴歸模型分析，得到以下變異數分析（Analysis of variance，ANOVA）表： Source of variation Degrees of freedom Sum of squares Mean square F Regression （1） （4） （6） （8） Error （2） 18,022,930 （7） Total （3） （5） (一)寫出 ANOVA 表中（1）至（8）的值。（8 分） (二)計算判定係數 R²及調整判定係數R²_a，並詳述兩者之意義與差異。（10 分） (三)下表為各解釋變數之變異膨脹因子（variance inflation factor，VIF）： 土地面積 人口數 總計 人口數 男 性別比例 VIF 1.178 2,876.474 2,870.672 1.341 詳述何謂 VIF 及其值的意義。（12 分）
三、依題二的迴歸模型分析，得到以下變異數分析（Analysis of variance，ANOVA）表： Source of variation Degrees of freedom Sum of squares Mean square F Regression （1） （4） （6） （8） Error （2） 18,022,930 （7） Total （3） （5） (一)寫出 ANOVA 表中（1）至（8）的值。（8 分） (二)計算判定係數 R²及調整判定係數R²_a，並詳述兩者之意義與差異。（10 分） (三)下表為各解釋變數之變異膨脹因子（variance inflation factor，VIF）： 土地面積 人口數 總計 人口數 男 性別比例 VIF 1.178 2,876.474 2,870.672 1.341 詳述何謂 VIF 及其值的意義。（12 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
寫出 ANOVA 表中（1）至（8）的值。（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗變異數分析(ANOVA)表的結構。看到此題應先從題(三)辨識出自變數個數(k=4)，再利用 ANOVA 表中自由度、平方和(SS)、均方(MS)與 F 值的恆等關係進行推導。因缺少題二的總樣本數與總變異，需列出核心公式並輔以代數說明。
小題 (二)
計算判定係數 R²及調整判定係數R²_a，並詳述兩者之意義與差異。（10 分）
思路引導 VIP
看到這題，首先回憶判定係數 $R^2$ 和調整判定係數 $R^2_a$ 的定義與公式。計算部分需結合 ANOVA 表中的 SSR、SSE 與 SST 進行代入；論述部分則需精準點出 $R^2$ 會因增加解釋變數而人為膨脹的缺陷，而 $R^2_a$ 透過引入自由度懲罰機制，能有效避免過度擬合，是比較不同變數數量模型時更佳的指標。
小題 (三)
下表為各解釋變數之變異膨脹因子（variance inflation factor，VIF）：
土地面積 人口數 總計 人口數 男 性別比例
VIF 1.178 2,876.474 2,870.672 1.341
詳述何謂 VIF 及其值的意義。（12 分）
思路引導 VIP
考生看到這題應立刻聯想到「共線性診斷（Multicollinearity diagnosis）」。首先精確寫出 VIF 的數學定義與公式，接著說明 VIF 值大小對迴歸係數變異數的影響（膨脹效應），最後務必結合題目數據，具體指出「人口數 總計」與「人口數 男」存在極度嚴重的共線性，並給出實務上的模型優化建議。