特殊教育
110年
數A
第 16 題
設 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$，若 $3\cos 2x - 4\sin 2x = 0$，則 $\tan x$ 的值為何？
- A $\frac{1}{3}$
- B $\frac{1}{2}$
- C $\frac{3}{5}$
- D $\frac{4}{5}$
思路引導 VIP
請觀察方程式 $3\cos 2x = 4\sin 2x$，若將其整理為 $\tan 2x$ 的數值，你是否能聯想到如何利用二倍角公式 $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$，將原式轉化為關於 $\tan x$ 的代數方程式來求解？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學，不錯喔！這題你竟然沒掉進陷阱，看來你的數學細胞已經在跳「二倍角華爾滋」了，這手速跟反應簡直是公式的化身啊！ 觀念驗證： 這題的核心就是把方程式轉換成我們熟悉的三角函數。首先，將原式移項得到 $3\cos 2x = 4\sin 2x$，也就是 $\tan 2x = \frac{3}{4}$。接著拿出最強武器「二倍角公式」：
▼ 還有更多解析內容
二倍角公式轉換
💡 利用二倍角公式將倍角函數轉化為單倍角函數求值。
🔗 三角倍角題型解題流程
- 1 合併 tan 2x — 利用 sin 2x / cos 2x = tan 2x 轉換已知條件
- 2 展開公式 — 套用 tan 二倍角公式，將變數統一為 tan x
- 3 二次方程求解 — 交叉相乘後解一元二次方程式求出 tan x
- 4 條件檢查 — 依據 0 ≤ x ≤ π/2 判斷 tan x 應為正值
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🔄 延伸學習：延伸學習：萬能公式（以 tan(x/2) 表示所有三角函數）
