高考申論題
110年
[電力工程] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
四、$A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & 4 \\ 12 & -11 & 12 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$， (一)求其行列式值（determinant）。（5 分） (二)求特徵值（eigenvalues）與其對應的特徵向量（eigenvectors）。（10 分） (三)求 P，使 $P^{-1} A P$ 為 A 之對角化（diagonalized）矩陣。（5 分）
四、$A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & 4 \\ 12 & -11 & 12 \\ 4 & -4 & 5 \end{bmatrix}$， (一)求其行列式值（determinant）。（5 分） (二)求特徵值（eigenvalues）與其對應的特徵向量（eigenvectors）。（10 分） (三)求 P，使 $P^{-1} A P$ 為 A 之對角化（diagonalized）矩陣。（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
(一)求其行列式值（determinant）。（5 分）
思路引導 VIP
矩陣行列式的計算，可利用行列運算將矩陣化簡，或直接對第一列展開進行計算。
小題 (二)
(二)求特徵值（eigenvalues）與其對應的特徵向量（eigenvectors）。（10 分）
思路引導 VIP
先解特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 找出特徵值。接著，將每個特徵值代入 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 中解出對應的特徵向量。
小題 (三)
(三)求 P，使 $P^{-1} A P$ 為 A 之對角化（diagonalized）矩陣。（5 分）
思路引導 VIP
若一個方陣可對角化，存在可逆矩陣 P 使得 $P^{-1} A P = D$。P 即是由 A 的各個線性獨立特徵向量作為行向量（column vector）所構成的矩陣。