ast_essay
111年
物理
第 26 題
📖 題組：
聲波和光波一樣，在通過狹隘的開口往前傳播時都會出現繞射現象，而適用相同的繞射公式。圖 13 的矩形喇叭筒擴音器，是瑞立發明的，目的是在起大霧時，使喊話或警報能傳播到海岸邊一個大角度扇形水平區域內的船隻，避免將聲波能量浪費於向上或向下的傳播，$w$ 與 $h$ 分別代表矩形開口的寬度與高度。當波發生繞射時，波強度出現極小值的角度$\theta$，與波長 $\lambda$ 和狹縫寬度 $a$ 的關係為 $a \sin\theta=n\lambda \quad (0 \le \theta \le 90^\circ , n=1,2,3,\dots) \quad \text{（1）式}$ 比起光波，聲波的波長 $\lambda$ 與狹縫寬度 $a$ 的比值通常較接近於 1，因此上式不易出現 $n > 1$ 的情況，以致聲波由開口向外傳播時主要會分布在張角為 $2\theta_1$ 的角度內，此處 $\sin\theta_1 = \lambda/a$，而張角是指以開口為頂點所張的角度。當 $\lambda/a > 1$ 時，（1）式無解，表示開口就近似於一個點，其向外傳播之聲波在開口前方的分布範圍（即張角），可達到 $180^\circ$。
聲波和光波一樣，在通過狹隘的開口往前傳播時都會出現繞射現象，而適用相同的繞射公式。圖 13 的矩形喇叭筒擴音器，是瑞立發明的，目的是在起大霧時，使喊話或警報能傳播到海岸邊一個大角度扇形水平區域內的船隻，避免將聲波能量浪費於向上或向下的傳播，$w$ 與 $h$ 分別代表矩形開口的寬度與高度。當波發生繞射時，波強度出現極小值的角度$\theta$，與波長 $\lambda$ 和狹縫寬度 $a$ 的關係為 $a \sin\theta=n\lambda \quad (0 \le \theta \le 90^\circ , n=1,2,3,\dots) \quad \text{（1）式}$ 比起光波，聲波的波長 $\lambda$ 與狹縫寬度 $a$ 的比值通常較接近於 1，因此上式不易出現 $n > 1$ 的情況，以致聲波由開口向外傳播時主要會分布在張角為 $2\theta_1$ 的角度內，此處 $\sin\theta_1 = \lambda/a$，而張角是指以開口為頂點所張的角度。當 $\lambda/a > 1$ 時，（1）式無解，表示開口就近似於一個點，其向外傳播之聲波在開口前方的分布範圍（即張角），可達到 $180^\circ$。
（1） 依據瑞立矩形開口擴音器的目的與聲波傳播的特性，建構一個關於瑞立矩形開口擴音器如何工作的理論模型，亦即說明該擴音器的寬度 $w$ 與高度 $h$，各與聲波波長 $\lambda$ 具有什麼關係（需列出關係式），並預測要使聲波在水平方向的分散角度大於垂直方向的分散角度，$w$ 與 $h$ 的大小關係應為何。（3 分）
（2） 承（1），若要驗證該擴音器可達到聲音在水平與垂直方向的分散效果，在固定擴音器寬度 $w$ 與高度 $h$ 的情況下，需要測量何種數據？答題時若用到數學式或圖形，須說明所用各符號的定義。（3 分）
（2） 承（1），若要驗證該擴音器可達到聲音在水平與垂直方向的分散效果，在固定擴音器寬度 $w$ 與高度 $h$ 的情況下，需要測量何種數據？答題時若用到數學式或圖形，須說明所用各符號的定義。（3 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一題關於「單狹縫繞射」的綜合應用題。核心知識為 $\sin\theta = \lambda / a$，其中狹縫寬度 $a$ 越小，繞射角度 $\theta$ 越大。第(1)題的情境希望聲音在「水平」散布較廣，但在「垂直」散布較窄（避免能量耗散）。因此在水平面上的等效寬度 $w$ 必須較小（以獲得大 $\theta_w$），而垂直面上的等效高度 $h$ 必須較大（以獲得小 $\theta_h$），由此推導出 $w < h$。第(2)題則為實驗設計。要「驗證」繞射分佈，其實就是去測量發生極小值（聲音最弱處）所對應的角度。設計上可以在前方固定距離處，分別沿水平和垂直方向測量各點的「聲音強度」，找出兩方向聲強最小的位置並換算出角度 $\theta_w$ 與 $\theta_h$，比較這兩個角度便能證明設計是否成功。
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第(1)小題（3 分） 【解法一】水平與垂直的分散角度皆小於 180° $\sin\theta = \lambda / a < 1$
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