地特三等申論題
111年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
考慮控制系統的輸入為 u，輸出為 y，初始條件為零，其動態方程式表示如下列(一)與(二)，寫下輸入與輸出間之轉移函數為何？
(一) ẋ = -5x + 3u, y = 7x（10 分）
(二) [ẋ1, ẋ2]T = [[-5, 0], [0, -1]] [x1, x2]T + [3, 1]T u, y = [7, 0] [x1, x2]T（10 分）
考慮控制系統的輸入為 u，輸出為 y，初始條件為零，其動態方程式表示如下列(一)與(二)，寫下輸入與輸出間之轉移函數為何？
(一) ẋ = -5x + 3u, y = 7x（10 分）
(二) [ẋ1, ẋ2]T = [[-5, 0], [0, -1]] [x1, x2]T + [3, 1]T u, y = [7, 0] [x1, x2]T（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
[ẋ1, ẋ2]T = [[-5, 0], [0, -1]] [x1, x2]T + [3, 1]T u, y = [7, 0] [x1, x2]T（10 分）
思路引導 VIP
看到由狀態空間模型求轉移函數，應直接聯想標準轉換公式 G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D。此題 A 矩陣為對角矩陣，求反矩陣非常快速；或者也可以直接展開聯立方程式並作拉氏轉換求解。
小題 (一)
ẋ = -5x + 3u, y = 7x（10 分）
思路引導 VIP
看到這類狀態空間方程式求轉移函數的題目，應直覺想到利用拉氏轉換處理。在初始條件為零的前提下，將時域的微分方程式轉換至頻域（s域），並求出輸出 Y(s) 與輸入 U(s) 的比值即可；亦可直接帶入矩陣公式 C(sI-A)^(-1)B+D 求解。
狀態空間轉轉移函數
💡 利用矩陣運算公式 G(s) = C(sI - A)⁻¹B + D 進行系統轉換
🔗 狀態空間至轉移函數轉換流程
- 1 參數萃取 — 從動態方程式識別 A, B, C, D 矩陣
- 2 矩陣差值 — 計算 sI - A，即對角線減去 A 的元素
- 3 求反矩陣 — 計算 (sI - A) 的逆矩陣（Inverse）
- 4 三矩陣相乘 — 依序計算 C × (sI-A)⁻¹ × B 並加上 D
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 A 為對角矩陣時，此流程可簡化為各子系統轉移函數的疊加。
