地特三等申論題 111年 [統計] 統計學

第一題

📖 題組：
一、下表為 1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。月份一至三月四月五月六月七月八月九月十月十一月十二月侵臺颱風次數 0 1 14 30 99 122 94 36 8 1

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

請估計每年侵臺颱風之平均次數。（5 分）

這題的核心在於計算樣本的「算術平均數」。考生需先將表格中各月份的颱風次數加總，求出這段期間的「總颱風次數」，再除以資料涵蓋的「總年數」（注意年份區間計算需加 1），即可得出每年侵臺颱風的平均估計值。

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【解題關鍵】利用算術平均數公式，將統計期間之總次數除以總年數求得每年平均次數。【解答】計算：

若每年侵臺颱風次數服從卜瓦松（Poisson）分配，依此資料之估計結果，計算一年內侵臺颱風超過兩次（含）以上的機率。（10 分）

首先需計算 1897 至 2014 年的總觀察年數與總侵臺颱風次數，藉此求出樣本平均數以估計卜瓦松分配的參數 λ。接著利用機率的餘事件概念，以 1 減去發生 0 次與 1 次的機率，即可精確算出發生 2 次（含）以上的機率。

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【解題思路】利用樣本平均數估計卜瓦松分配之參數 λ，再以餘事件機率法則計算 P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)。【詳解】已知：

若將前述侵臺颱風次數表視為隨機的抽樣結果，且 p 代表八月發生侵臺颱風次數在總侵臺颱風次數之比例。在顯著水準為 0.05 下，檢定八月發生侵臺颱風之比例是否超過 1/4。（10 分）

看到這題應先確認為「單一母體比例的大樣本假設檢定」問題。首先加總各月數據求出總樣本數 n 與八月發生次數 x，接著依據題意設立單尾檢定的虛無與對立假設（H1: p > 1/4）。因大樣本滿足常態近似條件，代入大樣本比例的 Z 檢定統計量公式進行計算，並與常態分配的臨界值比較即可得出結論。

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【解題關鍵】大樣本單一母體比例的單尾假設檢定（Z 檢定）。【解答】計算：