地特三等申論題
111年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
一、下表為 1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。 月份 一至三月 四月 五月 六月 七月 八月 九月 十月 十一月 十二月 侵臺颱風次數 0 1 14 30 99 122 94 36 8 1
一、下表為 1897-2014 年各月侵臺颱風合計次數表。 月份 一至三月 四月 五月 六月 七月 八月 九月 十月 十一月 十二月 侵臺颱風次數 0 1 14 30 99 122 94 36 8 1
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
若每年侵臺颱風次數服從卜瓦松（Poisson）分配，依此資料之估計結果，計算一年內侵臺颱風超過兩次（含）以上的機率。（10 分）
思路引導 VIP
首先需計算 1897 至 2014 年的總觀察年數與總侵臺颱風次數，藉此求出樣本平均數以估計卜瓦松分配的參數 λ。接著利用機率的餘事件概念，以 1 減去發生 0 次與 1 次的機率，即可精確算出發生 2 次（含）以上的機率。
小題 (一)
請估計每年侵臺颱風之平均次數。（5 分）
思路引導 VIP
這題的核心在於計算樣本的「算術平均數」。考生需先將表格中各月份的颱風次數加總，求出這段期間的「總颱風次數」，再除以資料涵蓋的「總年數」（注意年份區間計算需加 1），即可得出每年侵臺颱風的平均估計值。
小題 (三)
若將前述侵臺颱風次數表視為隨機的抽樣結果，且 p 代表八月發生侵臺颱風次數在總侵臺颱風次數之比例。在顯著水準為 0.05 下，檢定八月發生侵臺颱風之比例是否超過 1/4。（10 分）
思路引導 VIP
看到這題應先確認為「單一母體比例的大樣本假設檢定」問題。首先加總各月數據求出總樣本數 n 與八月發生次數 x，接著依據題意設立單尾檢定的虛無與對立假設（H1: p > 1/4）。因大樣本滿足常態近似條件，代入大樣本比例的 Z 檢定統計量公式進行計算，並與常態分配的臨界值比較即可得出結論。
卜瓦松分配機率計算
💡 利用樣本平均數估計卜瓦松參數並結合餘事件求機率。
🔗 卜瓦松分配申論題解題流程
- 1 參數估計 — 計算平均數 λ = ΣX / n 作為點估計值。
- 2 建立模型 — 寫出機率質量函數 PMF 之定義公式。
- 3 轉換餘事件 — 將 P(X≥2) 轉換為 1 - [P(X=0)+P(X=1)]。
- 4 數值求解 — 代入 λ 與指數函數值，計算出最終機率。
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🔄 延伸學習：延伸學習：點估計量（樣本平均數）之無偏性與一致性證明。
