地特三等申論題 111年 [統計] 統計學

第二題

📖 題組：
二、若隨機變數 X 與 Y 的聯合機率分配如下： X / Y | 4 | 5 | 6 8 | 0.10 | 0.20 | 0.20 9 | 0.20 | 0.20 | 0.10

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (二)

詳細說明 X 與 Y 是否為獨立隨機變數。（10 分）

判斷兩個隨機變數是否獨立，首要條件是檢驗其『聯合機率是否恆等於各自邊際機率的乘積』。解題第一步應先加總求出X與Y的邊際機率，接著只需找出一組不相等的組合，即可反證兩者不獨立。

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【解題思路】利用隨機變數獨立的定義：對於所有的 $x$ 與 $y$，若 $X$ 與 $Y$ 獨立，必滿足 $P(X=x, Y=y) = P(X=x) \times P(Y=y)$。【詳解】已知：由聯合機率分配表，先計算 $X$ 與 $Y$ 的邊際機率（Marginal Probability）。

計算在 X=8 的條件下，隨機變數 Y 的邊際分配、期望值與標準差。（15 分）

看到此題，應立即聯想到「條件機率分配」的定義。首先求出 X=8 的邊際機率作為分母，接著將聯合機率除以該邊際機率得到條件分配，最後代入期望值與變異數的定義公式，即可穩紮穩打求出條件期望值與條件標準差。

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【解題關鍵】運用條件機率公式 $P(Y=y|X=x) = \frac{P(X=x, Y=y)}{P(X=x)}$，再代入期望值與變異數定義進行計算。【解答】 Step 1：計算 $X=8$ 的邊際機率 $P(X=8)$

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