第 一 題

看到本題，首先要辨識出考點是「最大概似估計量 (MLE)」的推導。本題屬於多項分配 (Multinomial Distribution) 的應用。解題步驟為：1. 寫出概似函數 (Likelihood Function) L(θ)；2. 取自然對數得到對數概似函數 ln L(θ)，以簡化計算；3. 對 θ 微分並令其為 0 (一階條件)；4. 解方程式求出 θ 的估計值。時間分配建議為 10 分鐘。

這是一道典型的卡方適配度檢定 (Chi-square Goodness-of-fit test) 題目。由於我們在第一小題已經估計了參數 θ，因此在計算期望次數 (Expected frequency) 時，須將 θ 的估計值代入。接著套用 Pearson 卡方統計量公式。極度重要的一點是自由度的計算：df = k - 1 - m，其中 k 為類別數，m 為估計的參數個數。算出檢定統計量後，查表比較臨界值，最後做出是否拒絕虛無假說的結論。