普考申論題
111年
[經建行政] 統計學概要
第 三 題
📖 題組：
「身高體重指數」（Body Mass Index）是以身高、體重比例計算之指標，計算公式為：體重（公斤）／身高平方（公尺平方）。「體脂肪率」（Body Fat Percentage）是全身脂肪重量占體重的比例。王主任隨機抽取 20 位 60 歲以上男性，資料顯示兩變數之樣本相關係數為 0.56，以「身高體重指數」（y）對「體脂肪率」（x）作線性迴歸，得到估計的標準誤（standard error of estimate）為 5，以及右方殘差圖（註：圖中顯示殘差隨預測值分布）：
「身高體重指數」（Body Mass Index）是以身高、體重比例計算之指標，計算公式為：體重（公斤）／身高平方（公尺平方）。「體脂肪率」（Body Fat Percentage）是全身脂肪重量占體重的比例。王主任隨機抽取 20 位 60 歲以上男性，資料顯示兩變數之樣本相關係數為 0.56，以「身高體重指數」（y）對「體脂肪率」（x）作線性迴歸，得到估計的標準誤（standard error of estimate）為 5，以及右方殘差圖（註：圖中顯示殘差隨預測值分布）：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
在顯著水準 0.05 下，試檢定斜率係數是否為正值。（10 分）
思路引導 VIP
這是關於斜率 β1 的單尾檢定 (H1: β1 > 0)。可以使用 t 檢定。t 統計量可以用 r 來直接計算：t = r / √[(1-r²)/(n-2)]。或是利用 F 統計量的平方根 (僅限單一變數迴歸)。
小題 (一)
試寫出 ANOVA 表。（10 分）
思路引導 VIP
這題要求從有限資訊還原線性迴歸的 ANOVA 表。關鍵連鎖反應如下：1. 判定係數 R² = r²；2. 估計標準誤 s_e = √MSE，由此可得 SSE；3. 利用 R² = SSR/SST = 1 - SSE/SST 推導出 SST 與 SSR。自由度：迴歸為 1，殘差為 n-2=18。
小題 (二)
試求判定係數（coefficient of determination）並解釋其意義。（5 分）
思路引導 VIP
判定係數 R² 是相關係數 r 的平方。其統計意義在於描述「依變數（y）的總變異中，能被自變數（x）透過線性模型所解釋的比例」。
小題 (四)
根據殘差圖試說明迴歸模型之假設是否合理。（5 分）
思路引導 VIP
觀察殘差圖（Residual Plot）。理想的線性模型假設下，殘差應呈「隨機散佈」，無特定趨勢。若圖中殘差呈現喇叭狀（變異數不齊一）、曲線狀（線性假設不合）或有極端值，則假設不成立。