普考申論題
111年
[電信工程] 通信系統概要
第 五 題
📖 題組：
一、一正弦波信號x(t) = sin(60t)，其中 t 代表時間，單位為秒，以下皆同。（每小題 5 分，共 25 分） （一）請問此一正弦波頻率為何？ （二）請在時域中（時間t為橫軸，訊號x(t)值為縱軸），從t = 0開始，畫出此一正弦波一周期。請標出t的起始值、結束值以及相對應的x(t)值。 （三）x(t)經傅立葉轉換後，得到X(f)。請問 f 等於多少時，X(f) ≠ 0 ？ （四）若 y(t) = x(t) + sin(20t)，且 y(t)經傅立葉轉換後，得到Y(f)。請問 f 等於多少時，Y(f) ≠ 0 ？ （五）若 z(t) = x(t)sin(20t)，且 z(t)經傅立葉轉換後，得到Z(f)。請問 f 等於多少時，Z(f) ≠ 0 ？
一、一正弦波信號x(t) = sin(60t)，其中 t 代表時間，單位為秒，以下皆同。（每小題 5 分，共 25 分） （一）請問此一正弦波頻率為何？ （二）請在時域中（時間t為橫軸，訊號x(t)值為縱軸），從t = 0開始，畫出此一正弦波一周期。請標出t的起始值、結束值以及相對應的x(t)值。 （三）x(t)經傅立葉轉換後，得到X(f)。請問 f 等於多少時，X(f) ≠ 0 ？ （四）若 y(t) = x(t) + sin(20t)，且 y(t)經傅立葉轉換後，得到Y(f)。請問 f 等於多少時，Y(f) ≠ 0 ？ （五）若 z(t) = x(t)sin(20t)，且 z(t)經傅立葉轉換後，得到Z(f)。請問 f 等於多少時，Z(f) ≠ 0 ？
📝 此題為申論題，共 5 小題
小題 (五)
若 z(t) = x(t)sin(20t)，且 z(t)經傅立葉轉換後，得到Z(f)。請問 f 等於多少時，Z(f) ≠ 0 ？
思路引導 VIP
時域的乘法等於頻域的「摺積 (Convolution)」，或者更簡單地，利用三角函數積化和差公式。sin(A)sin(B) 會產生 (A-B) 與 (A+B) 兩種頻率成分。這在通信系統中稱為調變效應。
小題 (一)
請問此一正弦波頻率為何？
思路引導 VIP
看到正弦波公式 sin(ωt)，首要任務是識別出「角頻率 ω」。公式中 ω = 60。由於頻率 f 與角頻率的關係為 ω = 2πf，因此只需將 60 除以 2π 即可得到頻率。單位請務必標註為赫茲 (Hz)。
小題 (二)
請在時域中（時間t為橫軸，訊號x(t)值為縱軸），從t = 0開始，畫出此一正弦波一周期。請標出t的起始值、結束值以及相對應的x(t)值。
思路引導 VIP
繪製週期波形需要找出三個關鍵點：週期 (T)、振幅以及起始相位。週期 T 是頻率 f 的倒數。正弦函數 sin 在 t=0 時值為 0。標圖時應清楚呈現出正半週、負半週以及回到零點的時間點。
小題 (三)
x(t)經傅立葉轉換後，得到X(f)。請問 f 等於多少時，X(f) ≠ 0 ？
思路引導 VIP
傅立葉轉換的物理意義是將時域信號分解為頻譜。單一正弦波 sin(2πft) 在頻譜上表現為一對位於 ±f 的脈衝函數 (δ function)。因此，本題是在詢問該信號包含哪些頻率成分。
小題 (四)
若 y(t) = x(t) + sin(20t)，且 y(t)經傅立葉轉換後，得到Y(f)。請問 f 等於多少時，Y(f) ≠ 0 ？
思路引導 VIP
利用傅立葉轉換的「線性性質 (Linearity)」。時域的相加等於頻域的相加。y(t) 由兩個不同頻率的正弦波組成，因此其頻譜將是這兩個頻率成分的聯集。
訊號乘法與頻譜分析
💡 時域訊號相乘對應頻域卷積，可利用積化和差求得合成頻譜。
🔗 乘積項頻譜推導流程
- 1 時域相乘 — z(t) = sin(60t)sin(20t)
- 2 三角恆等式 — 利用積化和差化為 cos(40t) 與 cos(80t)
- 3 計算頻率 — 將 40 與 80 分別除以 2π 得到 Hz
- 4 決定頻譜位置 — 標註 Z(f) 於正負頻率對稱之四個點
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🔄 延伸學習：延伸學習：此運算即為數學上的「卷積 (Convolution)」在頻域的表現。
