高考申論題
111年
[天文] 宇宙學
第 一 題
📖 題組：
在宇宙最初的溫度滿足 $T \ll 100 \text{ MeV}/k$ 後，只有 $\gamma$、$e^\pm$、$\nu$、$\bar{\nu}$ 維持熱平衡，但在 $T \ll 1 \text{ MeV}/k$ 後，$e^+$、$e^-$ 也都湮滅為光子。（每小題 10 分，共 20 分）
在宇宙最初的溫度滿足 $T \ll 100 \text{ MeV}/k$ 後，只有 $\gamma$、$e^\pm$、$\nu$、$\bar{\nu}$ 維持熱平衡，但在 $T \ll 1 \text{ MeV}/k$ 後，$e^+$、$e^-$ 也都湮滅為光子。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請說明何以在 $e^\pm$ 湮滅之前內部自由度（internal degree of freedom）的總和值 $g_{\text{total}}$ 為 10.75？這個數值基於微中子只有 3 種 flavors；若微中子的 flavors 有 4 種，則數值應改為多少？
思路引導 VIP
計算早期宇宙的有效自由度 g* 需區分玻色子與費米子，利用 g* = Σ g_b + (7/8) Σ g_f 公式進行計算。考生應先盤點該時期處於熱平衡的粒子（光子、電子/正子、微中子），分析其自旋與正反粒子狀態得出個別自由度，再依不同的微中子世代數（flavors）代入求值。
小題 (二)
承(一)題，請解釋為何在 $T \cong 0.1 \text{ MeV}/k$ 時，$g$ 的值降為 3.36？
思路引導 VIP
看到此題，應先聯想到早期宇宙演化中的『電子-正子湮滅』事件以及『熵守恆定律』。首先利用熵守恆推導出光子與微中子去耦合後的溫度比例 (T_ν/T_γ)，再代入相對論性粒子能量密度的有效自由度 (g_*) 公式中進行定量計算，即可得出 3.36。