高考申論題
111年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
對於一個單位負回授系統（negative unity feedback system），其開迴路轉移函數（open-loop transfer function）為 KG(s)，且 G(s) = (s^2 + s) / (s^2 + 7s + 12)，對於其閉迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points）的求解方程式為 dG(s)/ds = 0： (一) 試證明該求解方程式為正確。（10 分） (二) 試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分） (三) 試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分） (四) 試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分）
對於一個單位負回授系統（negative unity feedback system），其開迴路轉移函數（open-loop transfer function）為 KG(s)，且 G(s) = (s^2 + s) / (s^2 + 7s + 12)，對於其閉迴路極點根軌跡（root-locus）之分離／重合點（breakaway/break-in points）的求解方程式為 dG(s)/ds = 0： (一) 試證明該求解方程式為正確。（10 分） (二) 試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分） (三) 試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分） (四) 試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試證明該求解方程式為正確。（10 分）
思路引導 VIP
從閉迴路特徵方程式 1 + KG(s) = 0 出發。將其表示為 K = -1/G(s)。根軌跡的分離或重合點代表在實軸上 K 值達到相對極大或極小（多重根處）。因此，利用微分求極值的觀念，對 K 關於 s 做微分並令其為 0。透過鏈鎖律推導，即可證明出 dG(s)/ds = 0 的結論。
小題 (二)
試求該開迴路轉移函數之極零點。（5 分）
思路引導 VIP
分別令分子與分母為零。分子 s^2 + s = 0 求解零點；分母 s^2 + 7s + 12 = 0 求解極點。這是基本的多項式因式分解。
小題 (三)
試繪製該閉迴路極點根軌跡圖。（5 分）
思路引導 VIP
按照根軌跡八大規則繪圖：
- 標出極點（X）與零點（O）。
小題 (四)
試求該閉迴路極點根軌跡圖之分離／重合點位置。（5 分）
思路引導 VIP
使用 (一) 證明的公式 dG(s)/ds = 0。運用商法則微分 G(s) = (s^2+s)/(s^2+7s+12)。令分子為零得到一個關於 s 的多項式，解出的 s 值中，位於實軸軌跡區間內的即為分離點與重合點。