地特三等申論題
108年
[機械工程] 自動控制
第 五 題
五、考慮系統轉移函數為
G(s) = $\frac{1}{s(s+50)}$
吾人以一個領先補償器（lead compensator）
C(s) = K $\frac{s+5}{s+2}$
來改變系統的動態，請描繪該系統的根軌跡圖（root locus plot），計算其根軌跡有幾條分支？分離點（breakaway point）在那裡（其中一個分離點在–10）？並分析使閉迴路系統維持穩定的 K 值範圍，當 K 值逐漸趨近極大的時候閉迴路系統的主要動態會如何表現？（20 分）
G(s) = $\frac{1}{s(s+50)}$
吾人以一個領先補償器（lead compensator）
C(s) = K $\frac{s+5}{s+2}$
來改變系統的動態，請描繪該系統的根軌跡圖（root locus plot），計算其根軌跡有幾條分支？分離點（breakaway point）在那裡（其中一個分離點在–10）？並分析使閉迴路系統維持穩定的 K 值範圍，當 K 值逐漸趨近極大的時候閉迴路系統的主要動態會如何表現？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題重點在於根軌跡繪製法則與閉迴路系統分析。先由開迴路轉移函數找出極點與零點以決定分支數及漸近線，接著利用 dK/ds=0 配合已知分離點求出所有分離點。再以 Routh-Hurwitz 準則判斷穩定範圍，最後透過極零點對消與漸近線位置，分析極大 K 值下的高頻振盪主導動態。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】本題需利用根軌跡法則（Root Locus Rules）找尋分支、漸近線與分離點，再透過 Routh-Hurwitz 準則判定穩定性，並利用極零點對消與漸近線特性分析極端增益下的暫態響應。 【詳解】 一、根軌跡圖描繪與分支數
▼ 還有更多解析內容
根軌跡分析與補償器設計
💡 運用根軌跡法則與 Routh 準則判定系統穩定性與動態特性。
🔗 根軌跡與穩定性分析流程
- 1 繪製零極點 — 決定分支起點(極點)與終點(零點)
- 2 確定漸近線 — 計算重心與角度，指引軌跡遠端走向
- 3 求解分離點 — 由 dK/ds=0 找出軌跡離開實軸的位置
- 4 Routh 準則判穩 — 建立特徵方程式陣列，求 $K$ 值範圍
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🔄 延伸學習：延伸學習：觀察增益 $K$ 變動對阻尼比與自然頻率之影響。
