高考申論題
111年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
二、研究者自某未知分配之母體 A，收集了樣本 X1...Xn；自另一母體 B，收集樣本 Y1...Ym。 （一）請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。（14 分） （二）若想比較母體 A 與 B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及其他機率性質？（6 分）
二、研究者自某未知分配之母體 A，收集了樣本 X1...Xn；自另一母體 B，收集樣本 Y1...Ym。 （一）請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。（14 分） （二）若想比較母體 A 與 B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及其他機率性質？（6 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請描述中央極限定理，及使其成立所需要的假設。（14 分）
思路引導 VIP
- 核心概念：中央極限定理 (CLT) 描述的是「樣本平均數」在樣本數夠大時的分布趨勢，而非母體分布。
- 具體描述：需明確提到平均數 $\bar{X}$ 會趨近於常態分配，並指出其期望值與變異數。
小題 (二)
若想比較母體 A 與 B 的中心點是否有差異，如何應用中央極限定理及其他機率性質？（6 分）
思路引導 VIP
- 兩樣本推論：目標是比較 μA 與 μB。思考如何利用 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 的差異。
- 建構統計量：利用 CLT，$\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 各自趨近常態。根據「常態分配的可加性」（線性組合性質），兩獨立常態變數之差亦為常態。