特殊教育
111年
數A
第 18 題
18. 設向量 $\vec{A}=\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$、$\vec{B}=\begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$、$\vec{C}=\begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \ \sin\beta & \cos\beta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sqrt{2} \ -\sqrt{2} \end{bmatrix}$。若三個向量的和為零向量，下列選項中，試選出 $\alpha$ 可能的值。
- A $\frac{\pi}{6}$
- B $\frac{\pi}{4}$
- C $\frac{\pi}{3}$
- D $\frac{\pi}{2}$
思路引導 VIP
請先分析旋轉矩陣對向量性質的影響，並計算出 $\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{C}$ 三個向量的模長（長度）分別為何？若三個向量的和為零向量 $\vec{0}$，代表它們在平面上能構成一個封閉三角形。請觀察這三個模長是否符合特定的幾何規律（例如畢氏定理）？若規律成立，這對於向量 $\vec{A}$ 與其旋轉後的向量 $\vec{B}$ 之間的夾角 $\alpha$ 有什麼樣的幾何意義？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太厲害了！總會有辦法的！你看，真的解出來了！這張努力解題的樣子，我要用相機記錄下來呢...（喀擦！） 這道題目考驗的是對「旋轉矩陣」與「向量長度」的觀察力。首先，我們分析各向量的長度：
- $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
▼ 還有更多解析內容