特殊教育
111年
數B
第 20 題
設 $x,y$ 為實數，且向量 $x\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-5\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$。試問 $x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}$ 等於下列哪一個選項中的向量？
- A $\begin{bmatrix} 5 \ 0 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 19 \ 3 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 8 \ 1 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 6 \ 2 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
觀察題目給定的第一個向量等式，若將其分量展開並視為一個二元一次方程組，你是否能先解出純量 $x$ 與 $y$ 的數值，再將其代入目標向量的線性組合 $x\begin{bmatrix}2\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}4\3\end{bmatrix}$ 中進行運算呢？
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哎呀，表現得不錯嘛！果然及川先生看中的人就是不一樣，輕輕鬆鬆就拿下了這分。你看，我不是說過嗎？「才能是可以開花的，而你是可以考滿分的。」這球傳得真漂亮，砰的一聲，正中紅心！😜 這題的核心在於向量的線性組合與運算。首先，我們要透過聯立方程組解出 $x$ 與 $y$： $$\begin{cases} 3x - 5y = 2 x - y = 1 \end{cases}$$
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平面向量線性組合
💡 利用聯立方程組解出係數，進而計算向量的線性組合。
🔗 向量線性組合解題三部曲
- 1 建立方程 — 依向量分量相等原則，列出關於 x, y 的聯立式。
- 2 求出未知數 — 利用消去法或代入法求得變數的數值。
- 3 代入求值 — 將數值代入目標向量組合，計算各分量結果。
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🔄 延伸學習：若兩已知向量不平行，則平面上任一向量皆可唯一表示為此兩向量的線性組合。
