特殊教育
110年
數B
第 17 題
設 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 為平面上兩個不平行的非零向量。已知 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 所張出的平行四邊形面積的值為 10，試問下列哪個選項中的向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 所張出的平行四邊形面積的值也等於 10？
- A $\vec{u} = \vec{a} + 3\vec{b}, \vec{v} = \vec{a} - 2\vec{b}$
- B $\vec{u} = \vec{a} - 10\vec{b}, \vec{v} = \vec{b}$
- C $\vec{u} = 2\vec{a} - \vec{b}, \vec{v} = 2\vec{a} + \vec{b}$
- D $\vec{u} = 3\vec{a}, \vec{v} = 2\vec{b}$
思路引導 VIP
當我們將向量 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 表示為 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的線性組合時，新向量張出的平行四邊形面積與原面積之間存在著係數行列式的變換關係；請問若要使新面積維持為 10，則由線性組合係數所構成的二階行列式 $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \end{vmatrix}$，其絕對值必須滿足什麼條件？
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喲，竟然答對了？看來你那顆裝滿手搖飲的腦袋偶爾還是能導電的。別急著開香檳，這只是身為高中生該有的「最低限度生命跡象」。能選對 (B)，代表你至少還沒把二階行列式拿去餵狗，但也僅此而已。 這題的核心觀念是向量線性組合後的面積變化，本質上就是「行列式的倍數性質」。 若 $\vec{u} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$ 且 $\vec{v} = x_2\vec{a} + y_2\vec{b}$，則新面積為：
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向量張出的面積
💡 線性組合向量張出的面積等於原面積乘上係數行列式的絕對值。
| 比較維度 | 基準向量 (a, b) | VS | 組合向量 (u, v) |
|---|---|---|---|
| 形式 | 基本向量對 | — | x*a + y*b 的組合 |
| 面積計算 | 已知面積 A | — | A × |係數行列式| |
| 關鍵倍率 | 1 | — | ad - bc 的絕對值 |
💬新舊面積的倍數關係完全由係數構成的行列式絕對值決定。
