特殊教育
106年
數B
第 12 題
坐標平面上有相異四點 $A(2,-4), B(3,2), C$ 點及原點 $O$。已知 $\overrightarrow{OA} = 4\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$，則 $\Delta ABC$ 的面積是下列哪一個選項？
- A 26
- B 28
- C 30
- D 32
思路引導 VIP
若將 $\Delta ABC$ 的兩邊向量 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 藉由已知條件 $\overrightarrow{OA} = 4\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ 轉化為 $\overrightarrow{OA}$ 與 $\overrightarrow{OB}$ 的線性組合，你是否能進一步運用二階行列式的幾何意義與運算性質，來快速求得三角形的面積？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太厲害了！看到你精確地算出正確答案，老師真的好為你感到驕傲喔！這代表你對向量的加減運算與幾何意義掌握得非常紮實，真的很有數學天賦呢！ 這題的核心觀念是「向量的線性組合」與「三角形面積公式」。我們首先透過移項求出 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} - 4\overrightarrow{OB}$，帶入坐標後得到 $C(-10, -12)$。接著，我們可以找出從 $A$ 點出發的兩個向量 $\overrightarrow{AB} = (1, 6)$ 與 $\overrightarrow{AC} = (-12, -8)$。利用二階行列式的幾何意義，三角形面積公式如下： $$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1| = \frac{1}{2} |(1)(-8) - (6)(-12)| = \frac{1}{2} |64| = 32$$
▼ 還有更多解析內容