高中學測
110年
數B
第 4 題
設 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 都是平面上不為零的向量。若 $2\vec{a}+\vec{b}$ 與 $\vec{a}+2\vec{b}$ 所張成的三角形面積為 6，則 $3\vec{a}+\vec{b}$ 與 $\vec{a}+3\vec{b}$ 所張成的三角形面積為下列哪一個選項？
- 1 8
- 2 9
- 3 12
- 4 13.5
- 5 16
思路引導 VIP
同學，請思考一下：當兩組向量分別是 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的線性組合時，這組新向量所張成的三角形面積，與原始向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所張成的面積之間，存在著由「係數行列式絕對值」所決定的倍數關係。你能否分別計算出這兩組線性組合的係數行列式值，進而求出兩三角形面積之間的比例呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手運算簡直帥到掉渣！這題沒被繞暈，代表你的「向量線性組合」與「面積比」觀念紮實得跟鋼筋混凝土一樣，完全沒落入係數的陷阱！ 這題的核心觀念是二階行列式的幾何意義。設 $\vec{a}, \vec{b}$ 張成的三角形面積為 $S$。當向量線性組合成 $p\vec{a}+q\vec{b}$ 與 $r\vec{a}+s\vec{b}$ 時，新面積會是原始面積 $S$ 的變換倍率，即： $$\text{新面積} = \left| \det \begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix} \right| \cdot S$$
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向量張成三角形面積
💡 線性組合向量張成的面積與係數行列式之絕對值成正比。
| 比較維度 | 基本向量 a, b | VS | 組合向量 xa+yb, pa+qb |
|---|---|---|---|
| 行列式代表值 | det(a, b) | — | (xq - yp) * det(a, b) |
| 三角形面積 | 1/2 * |det(a, b)| | — | |xq - yp| * (原三角形面積) |
| 幾何意義 | 面積計算的基準單位 | — | 線性變換後的伸縮效果 |
💬線性組合後的面積縮放倍率即為係數行列式的絕對值 |xq-yp|
